关于压缩传感所引起的非凸优化问题稀疏解研究

作为信息获取技术的革命，近年来压缩传感理论引起了广泛关注，它在信息压缩、图像处理、模式识别、地质勘探、雷达成像、无线通信等领域有重要而直接的应用。压缩传感所涉及的基本问题是如何快速求解所导致的非凸、非光滑、非Lipschitz 连续的优化问题。本项目旨在对该类非凸优化问题进行系统的理论分析和算法研究。拟采用推广经典Morean前向-后向分裂理论、应用光滑逼近等手段，对相关优化问题解的存在性、阈值表达性以及解的稀疏性进行系统研究，提出快速求解该类问题的迭代阈值算法；研究所提出算法的收敛性及正则化参数选择策略，并应用到图像去噪与指数追踪等典型压缩传感问题。项目研究将为压缩传感的应用提供高效实用算法，为其实用化奠定理论和算法基础；也将为非凸优化问题的研究提供新的思路。

本项目旨在对压缩传感所诱导的优化问题进行系统的理论分析和算法研究。截至本报告完成之日，本项目已在国内外期刊杂志上正式发表论文12篇，其中被 SCI 收录9 篇。论文录用1篇，投稿2篇，完成硕士论文3篇。项目的主要研究成果可以分为如下三大部分。.一． 无约束正则化模型的理论与算法研究。首先针对非凸稀疏Lp优化问题，分析了无约束Lp问题解的性态，建立了非凸Lp优化的Lower bound理论，设计了有效的光滑化方法，并给出相应算法的完整收敛性证明。由此给出求解非凸非光滑稀疏优化模型的通用光滑松弛方法。其次针对特殊的L1/2问题，提出了half阈值算法及相应的收敛性分析，创造性地给出一种正则化参数的选择策略。更进一步，针对阈值算法的局部收敛性，提出了模拟退火策略下的全局half阈值算法及其收敛性，并在一系列应用中验证了算法的可用性与有效性。由此建立了L1/2正则化在压缩传感等领域应用的理论与算法基础。.二．带约束正则化模型的算法研究。首先针对带约束的正则化模型，提出了自适应hard迭代阈值算法，该算法克服hard 阈值算法慢的特点, 在一定条件下可以重构原问题,并通过数值对比试验表明算法具有较高的计算效率与求得更好性能的解。其次，针对带上下界约束的正则化模型，线性化逼近目标函数，将原问题转化一系列可求解且具有显式解的子问题，进而给出带约束正则化模型的谱投影梯度算法。在一些适当假设条件下，证明了算法的局部收敛性。数值试验与比较表明，谱投影梯度算法能有效求解带约束正则化模型及大规模的带约束正则化问题。.三．相关模型与算法在金融投资组合领域内的应用。首先建立稀疏指数追踪和超越指数模型及考虑机会约束下的超越指数模型。其次，为降低交易费用与频繁调整，建立稀疏的投资组合调整模型。针对这些模型设计了快速有效的求解算法，建立了一套全新投资策略,模型与算法被中国国际金融有限公司的投资部门进行实证应用。