有限域上的置换多项式和组合零点定理的应用

Permutation polynomials and combinatorial Nullstellensatz are hot topics in finite fields and combinatorics. We will construct permutation polynomials over finite fields and study the applications of combinatorial Nullstellensatz in this program. Firstly, by using linear translators and Frobenius translators, we will generalize several classes of permutation polynomials; Secondly, we will characterize the classification of indecomposable exceptional rational functions over finite fields, then get some permutation polynomials by using Zieve lemma; Finally, we will study the applications of combinatorial Nullstellensatz for multisets in combinatorics, especially in the generalized Cauchy-Davenport Theorem.

置换多项式和组合零点定理是有限域和组合学中的热点研究问题。本项目将主要致力于构造有限域上的置换多项式和探索组合零点定理的应用。首先，利用线性传递子和Frobenius传递子推广几类现有的置换多项式；其次，通过对有限域上不可分例外有理函数的分类研究，利用Zieve引理来构造置换多项式；最后，探索多重集上的组合零点定理在组合中的应用，特别是在广义Cauchy-Davenport定理上的应用。

置换多项式和零和序列理论是有限域和组合数论中的热点研究问题。本项目主要构造了几类有限域上的置换多项式，研究了零和序列中的相关问题。首先，利用线性传递子构造了一类新的置换多项式，推广了现有的置换多项式，并得到了几类新的置换多项式；其次，通过对有限域上不可分例外有理函数的分类研究，利用Zieve引理，借助单位根群上的有理置换函数，构造出了多类置换多项式，推广了Kyureghyan，Zieve 和 Zheng,Yuan,Yu的结果；最后，研究了有限交换群上的零和序列问题，进一步证明了Girard关于秩为2的有限交换群的一类零和常数的猜想。同时，还确定了C_3^r上一类零和序列常数disc(C_3^r)。