辛叠加方法理论基础及在力学中的应用

After more than two decades of development, many practical mechanical problems has been solved by symplectic elasticity approach. However, in many cases, only the numerical solutions of the original mechanical equations can be obtained, and the analytical solution can not be obtained when applying the approach to study mechanics problems. In order to solve these problems, Li Rui et al. proposed the symplectic superposition method and obtained some analytical solutions of the isotropic rectangular plate problems. But the symplectic superposition method can not be used to solve other mechanical problems at present. In order to study and promote the application range of the symplectic superposition method, we regard the theoretical basis of symplectic superposition method as the completeness problems of symplectic eigenfunctions for a special class of infinite dimensional Hamiltonian operators. Based on the existing infinite dimensional Hamiltonian spectrum theory, we study various concrete mechanical problems by combining the knowledge of symbolic operation, operator matrix and perturbation theory in the project. It is a general theory that the symplectic eigenfunctions of this kind of special infinite dimensional Hamiltonian are constructed,which provides a theoretical basis for the symplectic superposition method. Furthermore, the analytical solutions of the more practical problems in mechanics will be given by symplectic superposition method.

历经二十多年的发展，辛弹性力学方法已经解决了许多实际力学问题，但是应用该方法研究力学问题时，很多情况下只能得到原力学方程的数值解而得不到其解析解。为了解决这类问题，李锐等学者提出了辛叠加方法，进而得到了一些各向同性矩形板问题的解析解，但目前未能应用辛叠加方法解决其它力学问题。为了研究推广辛叠加方法的应用范围，我们将辛叠加方法的理论基础归为一类特殊无穷维Hamilton算子辛本征函数系的完备性问题。在已有无穷维Hamilton算子谱理论的基础上，本项目将通过研究各种具体力学问题，并结合符号运算、算子矩阵及其扰动理论等知识，研究构建这一类特殊无穷维Hamilton算子辛本征函数系为完备的一般理论，为辛叠加方法提供理论依据，进而应用辛叠加方法得到更多力学实际问题的解析解。

上世纪90年代，钟万勰院士将Hamilton体系引入到弹性力学，建立了辛弹性力学方法。目前辛弹性力学方法已经解决了大量的实际力学问题，但是应用该方法研究力学问题时，很多情况下只能得到原力学方程的数值解而得不到其解析解。为了解决这类问题，李锐等学者提出了辛叠加方法，进而得到了一些各向同性矩形板的弯曲、屈曲和振动等问题的解析解。为了丰富辛叠加方法的理论基础和应用范围，本项目按照原研究计划，把辛叠加方法的理论基础归为一类特殊无穷维Hamilton算子（称为第一类无穷维Hamilton算子）辛本征函数系的完备性问题。在已有无穷维Hamilton算子谱理论的基础上，项目组结合符号运算、算子矩阵的谱理论以及算子矩阵的谱扰动理论等知识，以第一类无穷维Hamilton算子辛本征函数系的完备性为主线，展开了辛叠加方法的研究工作。主要研究内容为：研究了正交各向异性矩形薄板、弹性地基上正交各向异性矩形薄板和双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板在不同边界条件下的弯曲和振动等问题；研究了正交各向异性矩形中厚板/厚板和弹性地基上正交各向异性矩形中厚板/厚板在不同边界条件下的弯曲等问题；研究了四边固支弹性正交各向异性开口圆柱薄壳的弯曲问题；研究上述内容的同时，还研究了一些与辛本征函数系的完备性相关的无穷维Hamilton算子的谱理论。所得一些研究结果，如，双参数弹性地基上四边自由正交各向异性矩形薄板振动问题的辛叠加解，四边固支弹性正交各向异性开口圆柱薄壳的弯曲问题的辛叠加解和正交各向异性矩形中厚板弯曲问题的辛叠加解等结果，拓宽了辛叠加方法的应用范围。同时本项目所得到的一些无穷维Hamilton算子辛本征函数系的完备性新结果也丰富了辛叠加方法的理论基础。. 项目组在国内外核心期刊上已发表论文13篇，已在线发表1篇，投稿在审论文3篇。