熵变分及特定平面同胚的动力学

In this project, we will mainly investigate the variational principle for entropy in dynamical systems and dynamics of some specific planar homeomorphisms. In the theory of variational principle for entropy, we will discuss the variational principle for various entropy-like invariants in general dynamical systems (especially group actions, uniform spaces systems, etc.). Also, we will use the theory of entropy to study the complexity of dynamical systems. Moreover, from a viewpoint of dynamical systems, we will analyze the complexity of some economic models by using the theory of dynamics. In the dynamic of planar homeomorphisms, we will study the construction of some planar homeomorphisms with special properties. In addition, we will deeply research some important dynamical properties and wish to obtain some results which can reflect the stucture of planar homeomorphisms. These problems can help us to understand the complexity of dynamics and discover the difference between planar homeomorphisms and dynamics in one dimension.

本项目主要围绕动力系统熵变分及特定平面同胚的动力学方面的问题开展研究。在熵变分理论方面，我们继续探讨动力系统 (尤其群作用，一致空间系统等) 类熵不变量的变分理论，以及熵理论刻画系统复杂性方面的问题。此外，我们将从动力系统观点，运用动力系统相关理论分析经济模型的复杂性。在平面同胚动力学方面, 我们将探讨几类具有特定性质的平面同胚的构造，同时对特定平面同胚的一些重要动力学性态开展深入研究，得到一些能够深刻反映平面同胚结构的结果。这些问题的系统研究可以让我们深入地了解动力系统的复杂性，以及平面同胚与一维动力系统的动力学差异。

动力系统熵理论及特定空间上动力系统的动力学一直以来都是动力系统领域广受关注的内容。本项目主要讨论了动力系统熵变分及特定平面同胚动力学，发表学术论文 13 篇，培养硕士研究生 7 人。主要研究内容包括模糊动力系统的条件熵；动力系统逆像熵结构；熵理论刻画系统复杂性；环面线性同胚及平面同胚不动点；系统动力学在经济、管理学领域中的应用。取得主要成果包括：借鉴经典遍历论的想法，在模糊动力系统中引入了条件模糊熵的概念，并得到条件模糊熵的一些基本性质；正熵、混沌属性、渐近性等复杂性刻画之间的关系；从局部化及捆绑逆像轨道的角度讨论了非可逆系统的逆像熵结构；平面保向同胚与连续映射的不动点定理；拓扑空间的路连通与弧连通性；环面线性同胚及其应用等。这些工作为进一步理解动力系统的复杂性，非可逆系统逆像结构与拓扑熵之间的关系，平面保向同胚及连续映射的轨道性质等方面具有很好的理论意义，以及在经济管理领域具有一定的应用价值。