变论域模糊控制器的逼近特性研究

变论域模糊控制器是一种基于论域在线调节的自适应控制器。已有研究表明，它具有控制精度高、所需规则少的突出优点。如此优点正是众多模糊控制器设计者长期追求的目标和尚未完全解决的问题。但是，对于变论域模糊控制器为什么具有如此优点的问题，目前还没有数学意义上的解释和证明，致使相当一部分学者对此存在质疑，严重阻碍了它的推广应用。更重要的是，所需规则可少到什么程度，初始论域如何划分，目前亦没有可靠的方法和理论依据，完全凭设计者的经验确定。这难免会产生主观随意性的弊端。针对变论域模糊控制理论的不完整性，本项目拟利用函数逼近的方法开展如下研究：证明变论域模糊控制器在采样步内是万能逼近器；讨论逼近误差的收敛性，以此为基础证明变论域模糊控制器在整个时域上是万能逼近器；导出初始论域上各模糊子集中心点间距的计算公式和所需规则数量的计算公式，为变论域模糊控制器的应用提供完整实用的技术方案。

本项目针对变论域模糊控制器的万能逼近性、逼近误差收敛性、论域划分与所需规则数量的计算方法展开研究，取得了一系列研究成果。利用Weierstrass逼近定理、多元函数泰勒公式、插值定理等数学工具，分别针对三角形隶属函数和伪梯形隶属函数，证明了基于模糊单值器、乘积型推理机和中心平均解模糊器的变论域模糊控制器在单个控制周期内是一种万能逼近器，确立了一种比较实用的变论域伸缩因子的表达式；在分析伸缩因子机理的基础上，证明了变论域模糊控制器的逼近误差在整个时域内具有收敛性。对于整个时域，所有控制周期的变论域模糊控制器的控制律等价于一簇静态函数的组合，其中每个静态函数对应一个控制周期的控制律。因此，在任意控制周期内变论域模糊控制器是万能逼近器的结论，可以推广到在整个时域内变论域模糊控制器亦是万能逼近器；根据变论域模糊控制器的万能逼近性，最大逼近误差、逼近误差的收敛性表达式、以及基于一阶导数或二阶导数表征的逼近难易度，在给定精度下且各模糊集中心点平均分布的条件下，推导出了的论域划分充分条件和所需规则计算公式；根据收缩因子的作用机理，引入一个小于1的正系数，降低了逼近条件的保守性。以上研究成果，为变论域模糊控制器的论域划分、规则库规模的设计和逼近性能的预估提供了一套完整的方案，对变论域模糊控制器的设计具有重要理论意义和应用价值。