多元极值理论及其在风险理论中的应用

In modern society, the extreme risk has been an inevitable topic. Extreme value theory is one of the most effective methods to predict the probability of extreme events, but mostly restricted to the circumstances which only involve univariate risk. Application to the situations which involve the multivariate risks is still limited. So, it is necessary to conduct in-depth research on multivariate extreme value theory and its application in risk theory. In the study of extreme risk, the frequency of extreme event is very small, which results in few samples of extreme events and that we usually do not have enough data to clear the precise distribution of the extreme risk and the dependence structure between risks. Therefore, it is difficult to figure out the tail traits of multivariate extreme risks. So, it is particularly important to develop appropriate convergence theorems which characterize the approximation of the tail traits. The main contents of our project include: investigating the characterization of dependence structure of multivariate extreme risks based on spectral measure; how the dependence structure and margins of multivariate extreme risk affect its tail traits; the second-order asymptotic approximation of tail probabilities and risk measure of the aggregation of multivariate extreme risk; investigating the risk measure of multivariate extreme risk under the condition of Hidden regular variation; and trace back to the properties of margins from the aggregate risk. The research findings of the project could provide reliable theory basis for governors on risk management, and enrich and develop the extreme value theory.

在现代社会中，极端风险已是不可回避的话题。极值理论是目前预测极端事件发生的可能性最有效的方法之一，但多局限于一元情形，多元情形的应用比较有限。因此，有必要对多元极值理论及其在风险理论中的应用进行深入研究。 由于在极值风险的研究中，通常没有足够的数据来明晰极端风险的精确分布以及风险之间的相依结构，难以明晰极值风险的尾部性状。因此，建立适当的刻画极值风险尾部渐近性质尤为必要。故本项目的主要内容包括：基于谱测度研究多元极值分布相依结构的刻画；多元极值风险的相依结构和边际分布如何影响尾部性状；多元极值风险的聚合的尾概率及风险度量的二阶逼近；在隐正则变化的条件下研究多元极值风险的风险度量；从聚合风险追溯边际风险的性质。本项目的研究成果可望为管理者在风险管理方面提供可靠的理论依据，丰富和发展极值理论。

现代社会中，极端风险管理已是不可回避的话题。极值理论作为目前预测极端事件发生的可能性最有效的方法之一，研究多局限于一元情形，多元情形的应用比较有限。因此，在本项目中，我们对多元极值理论及其在风险理论中的应用进行深入研究。内容主要涉及：基于单形上的谱测度研究多元极值分布相依结构的刻画；研究聚合多元极值风险的尾概率及风险度量和浓度的二阶或高阶逼近；隐正则变化的条件下研究多元极值风险的风险度量；从聚合风险的尾概率的性状去追溯边际风险。. 我们在多元极值理论的理论基础研究与其在风险管理中的应用方面建立了一系列有价值的标志性结果。特别地，我们建立了多元极值分布的超模序与其谱测度的凸序关系与之间的等价关系。这一结论有助于深刻理解多元极值分布的相依结构和合理构造多元极值分布，为相依建模和统计推断提供理论依据。我们在（二阶）正则变化条件下系统研究了边际风险尾部性状以及风险间相依强弱程度是如何交互作用，影响聚合相依风险的尾部性状，极大拓宽了文献已有结果。我们通过研究极值风险的Laplace变换的性质，得到了在已知独立同分布的风险聚合是极值风险的条件下，则边际风险一定也是极值风险。这一结果的建立可以看做是从聚合风险性状去追溯边际风险性状的首步探索与尝试，为进一步彻底解决这一问题提供了方向与指导。. 在项目的开展过程中，我们注意到聚合风险与凸序的关系与模型不确定性与聚合风险的关系这两类问题与我们的研究密切相关。我们建立了同单调的相依结构与聚合风险凸序最大的关系，在相依结构完全未知，边际分布为正则变化条件下，给出了聚合风险的分布函数和VaR的上下界。这一结果首次将极值理论与模型不确定性两大重要领域联系起来，具有较强的启发性。.本项目的顺利开展与所得到的研究成果为管理者在风险管理方面提供可靠的理论依据，丰富和发展极值理论，为相依建模和统计推断提供理论依据，亦为未来进一步开展风险管理特别是多元极端风险管理的研究打下基础。