高维非线性物理模型局域波特性及其形成机制研究

The study of local waves with novel properties and their interactions has always been an important topic in the fields of mathematical physics and fluid mechanics. We will apply soliton theory and integrable system theory method to focus on the local wave and its interaction solutions of the high-dimensional nonlinear physical model, and hope to explore and develop the soliton mathematical theory of the local wave solutions of the high-dimensional nonlinear physical model through the study of specific problems. We intend to carry out the research of the following three aspects: firstly, the long wave limit and spectral parameter analysis method are developed to study the local wave characteristics and its formation mechanism of the high-dimensional nonlinear physical model. With the help of symbolic calculation and numerical methods, the special wave structure and properties and the relationship between amplitude and background are analyzed, and the dynamics evolution of the local wave is discussed. Secondly, the KP hierarchy reduction method is developed to get the Grammian form of multi-lump solutions of high-dimensional nonlinear physical models, and their related properties and dynamic evolution are discussed. Finally, the generalized N-fold darboux transform is developed to study the local waves and their interaction solutions of high dimensional nonlinear physical models. This subject will have a deeper understanding of the local wave of the high-dimensional nonlinear physical model, summarize the corresponding physical mechanism and mathematical principle, and provide theoretical basis for practical application.

关于具有新奇性质局部波及其相互作用现象的研究，一直是数学物理、流体力学等领域的重要研究内容。我们将应用孤子理论研究高维非线性物理模型的局域波及其相互作用解，希望通过对具体问题的研究探索和发展关于高维非线性物理模型局域波解的孤子数学理论。拟开展以下三个方面的研究：首先，基于非线性物理模型的双线性形式，发展长波极限和谱参数分析方法研究高维非线性物理模型的局域波特性及其形成机制，并借助符号计算和数值方法，分析波的特殊结构和性质以及振幅与背景之间的关系，讨论局域波的动力学演化；其次，发展KP梯队约化方法得到高维非线性物理模型的Grammian形式的多lump解，并讨论它们的相关性质和动力学演化；最后，发展广义N步达布变换研究高维非线性物理模型的局域波及其相互作用解。本项目将对高维非线性物理模型的局域波有更深入的理解，并归纳和总结出相应的物理机制和数学原理，为实际应用提供理论依据。

本项目应用可积系统与孤子理论的相关方法研究高维非线性物理模型的局域波及其相互作用解，探索和发展局域波解的物理机理和数学原理。经过三年的研究，圆满完成了项目设定的研究目标和研究内容。具体研究成果包括：本项目基于Hirota双线性形式，发展长波极限方法和谱参数分析方法研究了几类高维非线性物理模型的线孤子、呼吸波、lump孤子及其混合作用解，探讨了非局域发展方程的局域波解和依赖时间的变系数高维非线性模型的局域波解，分析了局域波形成的原理和数学理论；发展广义的达布变换方法，研究了高阶非线性自对偶网络方程的N孤子解并分析了解的动力学行为；发展基于Riemann-Hilbert问题的反散射方法研究了多分量耦合Sasa-Satsuma方程的局域波解及解长时间渐近行为；发展Whitham调制理论，研究了高阶非线性Jaulent-Miodek方程的间断初值问题，由于间断初值的任意性，得到七种基本稀疏波结构，十种基本冲击波结构，从而发现间断初值问题演化波结构分为六大类，并探讨了每一类演化波的结构及动力学行为。本项目的研究对高维非线性物理模型的局域波有深入的理解，归纳和总结的物理机制和数学原理为实际应用和实验研究提供可靠的理论依据。基于本项目的研究成果，申请人及课题组成员发表了11篇与本项目相关的SCI论文，获得了1项北京市自然科学基金面上项目，1项校级人才计划项目，培养4名硕士研究生，主办2次线上学术会议。