动力系统的多稳态研究

本项目立足于神经网络及动力系统的研究热点之一- - "多稳态"，旨在通过对此行为的深入研究，进一步揭示神经网络及动力系统的动态特性。首先，我们将基于时间反演理论、不动点理论及一些分析方法，对神经网络中多个平衡态的共存性、局部稳定性进行细致的分析，并对其中各平衡态的吸引域进行精确的界定。其次，考察系统在时滞，尤其无界时滞情形下，是否能继续保持多个平衡态的共存性及局部$\mu$-稳定性。再次，对于高阶神经网络，我们也将分析其多稳态行为，并给出系统多重稳定性的一些判据。最后，结合随机动力系统理论及确定性系统的研究方法，讨论随机扰动对系统多重稳定性的影响；并对神经网络其它的一些相关动力学行为，进行探索性分析。这些研究工作，将帮助我们更加深刻地理解神经网络及动力系统中的多稳态行为，并为其实际应用和设计提供更加强有力的技术支持。

多重稳定性，即多个平衡态的共存性及局部稳定性，是神经网络的一种非常重要的动力学性态，也是近年来的研究热点之一。本项目就应用动力系统的理论和方法对其多重稳定性进行了深入研究。首先，我们考查了一类以非单调的 Mexican-hat 型函数作为激发函数的神经网络模型，首次将系统的外部输入作为研究对象，针对其不同的范围分类，分别讨论了系统状态向量的各个分量的收敛性，再综合得到状态向量的动态趋势。而且，对于二维系统，我们可以计算出各不稳定平衡态的稳定流形，连接它们就会把相空间划分为几个区域，可以验证，这几个区域恰好是系统的稳定平衡态的吸引域。其次，对于时滞神经网络，我们摒弃了目前研究中将系统当前状态和时滞状态设在同一个相空间的子集里的限制，提出了一种新方法来研究其完全稳定性。通过将系统初始状态t=0时刻解所在的子集进行分类研究，可以得出结论，即无论系统解的初始值存在于哪（几）个子集中，对应的解将或者留在它在t=0时刻所在的子集中，或者离开此子集流到另外一个相邻的子集中去。由这个规律我们可以归纳出，随着时间的推移，系统的任意解都将流动到某一具有正不变性的子集中并收敛于此子集中的平衡态。另一方面，在时滞无界情况下，我们也考查了动力系统中多个平衡态的共存性，并阐释了它们各自的稳定性态——局部$\mu$ -稳定性。再次，我们重新审视了高阶神经网络区别于低阶神经网络的结构上的复杂性，找到了一类新的与高阶连接权重相关的充分条件以保证系统中多个平衡态的存在性和稳定性；对二维系统中各平衡态吸引域作出了精确的界定，这是对非线性系统吸引域研究的尝试，也是对第一部分工作的补充。而且，通过系统参数的范围分类，分别刻画了系统的多重稳定性及单稳定性，并精确求出了系统中存储的所有平衡态及稳定平衡态的个数。另一方面，讨论了高阶神经网络中非负周期解的存在性及其$R_+^n$ -渐进稳定性。最后，考虑到系统模型在实际应用中会出现参数的不确定性，我们研究了系统的鲁棒稳定性，并证明了一定条件下，即使模型参数有误差，系统仍然能保持多重稳定性。这些工作，帮助我们更深刻地理解和刻画了神经网络及动力系统中的多稳态行为，并为其实际应用和设计提供了有力的技术保障。