Orlicz Brunn-Minkowski 理论中投影体的仿射极值问题研究

In the framework of the newly established Orlicz Brunn-Minkowski theory of convex bodies, this project will focus on investigating some affine extremum problems of projection bodies, by using the methods of convex geometry, functional analysis and calculus of variations. To be specific, it will include the following: the quermassintegrals of projection bodies, the quermassintegrals of polar projection bodies, the affine quermassintegrals of convex bodies, the quermassintegrals of multi-projection bodies, and the affine-quermassintegral-ratios of convex bodies. The above mentioned topics are challenging and urgently awaited to be solved ones in convex geometry, which are naturally evolved from the developments of convex geometry since 2010 and are closely traced the hot topics and mainstream. We believe that the concepts and techniques developed in this project would have to yield some essential and significant achievements, which will enrich the connotations of the Brunn-Minkowski theory.

本项目将在新近建立的凸体的 Orlicz Brunn-Minkowski 理论框架下， 综合利用凸体几何、泛函分析和变分的方法， 重点研究投影体的仿射极值问题，具体涉及： 投影体的均质积分、投影极体的均质积分、凸体的仿射均质积分、多重投影体的均质积分、仿射均质积分比。本项目的研究课题是凸体几何在最近几年的发展中自然出现的问题，它们紧密追随了凸体几何的国际主流和研究热点，亟待解决且具有一定的挑战性。研究过程中所发展的概念和技巧必定会得到一些实质性的有意义的成果，从而丰富 Brunn-Minkowski 理论的内涵。

本项目隶属凸几何，主要研究了在 Orlicz Brunn-Minkowski 理论框架下投影体的仿射极值问题以及相关问题。所形成的结果如下：一、研究了由投影体抽象来的积分仿射表面积，特别地，建立了新的仿射等周不等式，该成果发表在 Calculus of Variations and PDEs。二、建立了投影体的 Orlicz Brunn-Minkowski 不等式，该成果发表在 Journal of Geometric Analysis。三、解决了由凸几何权威专家、纽约大学的 Gaoyong Zhang 教授提出的一个长达十余年未解决的问题，该成果发表在 International Mathematics Research Notices。四、以投影体为工具，将其应用到了容量的 Lp Minkowski 问题的研究中，形成的结果已被 Journal of Differential Geometry 正式接收（官方网站已经通告）。五、在 log-Brunn-Minkowski 理论框架下，建立了投影极体的 Brunn-Minkowski 不等式，该项工作已形成了论文，即将投稿。六、建立了 John 体积的 logarithmic Brunn-Minkowski 不等式，该全新结果与 BLYZ 猜想这一热门问题关联了起来，该项工作已形成了论文，拟投稿至 Advances in Mathematics。