三类两阶段随机锥约束优化问题的渐近性研究

Two stage stochastic programming is a kind of important problem which is widely used in engineering and economic fields. Most researchers focus their attention on the linear two-stage stochastic programming problem, however, the underlying problems of many important two-stage model are cone optimization problems. In this project, we study the qualitative and quantitative stability results for two stage stochastic programming problems, of which the second stage problems are quadratic programming, second-order cone optimization problem and positive semi-definite symmetric matrix cone optimization problem. The research contents include: 1) the semi-continuity properties of the optimal solution set for the second stage problem of the three problems above; 2) the Hadamard directionally differentiability for the optimal value function of the second stage problem and the asymptotic distribution of the sample average approximation estimator for the optimal value function; 3) using a certain probability measure distance to obtain the global Lipschitz continuity of the optimal value function; 4) the stability results for the optimal value function and the optimal solution set mapping of the stochastic perturbation problem and the corresponding empirical approximation results when the probability distribution is disturbed; 5) the qualitative and quantitative stability results for the second-order cone two-stage stochastic quadratic programming problem with chance constrained.

两阶段随机规划问题是一类在工程和经济领域有着广泛应用的重要问题。到现在为止，国内外大多数学者关注的基本上是线性两阶段随机规划问题，然而很多重要的两阶段模型的下层问题是锥约束优化问题。本项目研究第二阶段问题分别是二次规划、二阶锥约束优化和半正定矩阵锥约束优化的两阶段随机规划问题定性和定量的稳定性分析。研究内容包括：1）三类问题的第二阶段问题最优解集的半连续性分析；2）下层问题最优值函数的Hadamard方向可微性与最优值函数的样本均值近似估计的渐近分布；3）利用恰当的概率测度距离得到最优值函数的全局Lipschitz连续性；4）分析概率分布被扰动时，随机扰动问题的最优值函数和最优解集映射的稳定性以及相应的经验近似结果；5）研究带有机会约束的二阶锥两阶段随机二次规划问题定性和定量的稳定性分析。

两阶段随机规划问题是一类在工程和经济领域有着广泛应用的重要问题。到现在为止，国 内外大多数学者关注的基本上是线性两阶段随机规划问题，然而很多重要的两阶段模型的下层问题是锥约束优化问题。本项目研究第二阶段问题分别是二次规划、二阶锥约束优化和半正定矩阵锥约束优化的两阶段随机规划问题定性和定量的稳定性分析。主要从定性和定量两个角度给出了一类随机两阶段问题（线性二阶锥两阶段随机规划问题）的稳定性分析结果。两阶段问题的上层目标函数中包含了下层问题的最优值函数，所以其在模型结构、求解方法上都与双层规划问题十分相似。由于实际生活中往往存在许多无法确定的随机因素，因此本项目利用统计推断和渐近分析等方法研究线性二阶锥两阶段随机规划问题。一方面，在两阶段随机规划问题的Slater条件 成立的前提下，证明了原问题及其对偶问题的解集映射的上半连续性，以及最优值函数的Hadamard方向可微性，从而得到定性的稳定性分析结果。另一方面，当随机变量的分布无法确定时，本项目通过求解一系列有确定分布的近似问题求解原问题，可以得到原问题的最优值和最优解集映射的渐近性结果。研究的第二部分，双层规划问题是一类具有上、下两层结构的数学规划问题，该问题在工程和经济方面有着重要的应用。首先对不同的约束规范进行深入的对比研究，然后为了求解下层问题的目标函数关于下层变量y是非凸的情况，提出了一种新的增广拉格朗日方法。在满足一定约束规范的前提下，进一步证明了新的增广拉格朗日方法可以得到双层规划问题的可行的稳定点，最后通过数值实验成功地求解了双层规划问题。