退化抛物方程的可解性及其在可压缩流体力学中的应用

This project is concerned with some mathematical problems of the strongly degenerate parabolic equations and its applications in the compressible fluid mechanics. Firstly, we aim to study the global existence and uniqueness of weak solutions to the initial-boundary value problem of the quasilinear degenerate parabolic equations with lower-order convection terms and boundary degeneracy. Secondly, we shall study the global well-posedness and large-time behavior of smooth solutions with small non-vacuum data to the compressilbe isentropic Navier-Stokes equations with density-dependent viscosities. Then, we shall consider the regularity and uniqueness of the global weak solutions to the multi-dimensional compressible isentropic Navier-Stokes equations with (degenerate) density-dependent viscosities. Next, we shall discuss the compactness of the multi-dimensional compressible non-isentropic Navier-Stokes equations with (degenerate) density-dependent viscosities and prove the global existence of weak solutions with large data. Finally, we want to investigate the global well-posedness of the multi-dimensional compressible non-resistive MHD equations and justify the non-resistive limit. Due to the physical importance and the mathematical challenges, these problems are central issues in both applied mathematics and computational mechanics.

本项目拟研究强退化抛物方程理论及其在可压缩流体力学中的应用。主要研究具低阶对流项和退化边界的拟线性退化抛物方程初边值问题的可解性；高维粘性依赖于密度可压缩等熵Navier-Stokes方程小初值（不含真空）整体光滑解的存在性和长时间性质；研究高维粘性依赖于密度（退化粘性）可压缩等熵Navier-Stokes方程含真空大初值整体弱解的正则性和唯一性；研究高维粘性依赖于密度可压缩非等熵Navier-Stokes方程的紧性理论、整体光滑逼近解及大初值整体弱解的存在性；研究高维零磁扩散可压缩等熵MHD方程的整体适定性以及零磁扩散极限过程。这些研究内容是偏微分方程研究领域中的前沿热点问题，具有重要的理论意义和广泛的应用前景。

非线性流体力学偏微分方程组具有重要的应用背景，长期以来一直是应用数学领域的前沿热点问题。由于非线性、强耦合、退化性及其他奇性的影响，非线性偏微分方程组的数学理论研究极具困难。本项目主要利用椭圆-抛物-双曲的思想方法和研究技巧，研究可压缩/不可压缩流体力学方程组的适定性、正则性及长时间性质等，共发表或接收发表15篇论文。依托项目研究，取得的主要研究成果如下：..1.高维可压缩流体力学方程组方面：证明了带有大外力的三维可压缩等熵/非等熵Navier-Stokes方程组小能量初值的整体适定性；带有一般参杂分布的三维Navier-Stokes-Poisson方程组及三维等熵液晶系统的小能量整适定性；在更一般框架下，对非等熵Navier-Stokes方程组低正则、不含真空的初值问题证明了解的唯一性。..2.高维不可压缩流体力学方程组方面：得到了部分耗散二维Boussinesq方程组初值问题的最优衰减估计；二维非齐次液晶系统的大初值整体适定性及三维问题的小初值整体适定性和长时间性质；二维磁对流系统普朗特参数无穷大时的渐进极限和初始层效应。..3.一维可压缩流体力学方程组方面：研究了一维磁流体力学方程组初边值问题的整体适定性、零磁扩散极限及磁边界层效应。..4.人才培养方面：招收1名博士后；培养2名博士毕业生、1名硕士毕业生；目前在读博士研究生7人、在读硕士生3人。..本项目研究进一步发展非线性偏微分方程的研究方法和分析技巧，丰富了相关领域的研究成果，具有一定理论意义。