分数阶LMS自适应滤波算法研究及其应用

In the last decades, the adaptive filter algorithm has been developed and become a significant technique in the field of signal processing. It possessed adaptability strongly and the statistical property of input signal is not necessary any more. Among the great variety of adaptive filter algorithms, the least mean square (LMS) algorithm, which is based on the gradient descent method, has been widely used in the engineering application, due to its simplicity and stability. However, considering its slow convergence rate, the further development of traditional LMS algorithm is badly limited. This problem can be luckily solved by introducing the fractional order calculus, but at the same time, it would bring some other problems such as an increase of steady state error, computational complexity and unexpected overshoot. In this project, we will carry out our research from the perspective of the nonlocality involved in fractional order calculus. More specifically, we will firstly study the fractional order extreme value issue, and systematically build the framework for fractional order gradient descent method. Then, the fractional order LMS algorithm is expected to be improved by an optimized updating direction and a self-adapted updating order. Meanwhile, the proposed LMS algorithm can also speed up the convergence, suppress the disorder of update direction, and reduce the steady state error and computational complexity. It is expected that this project would be beneficial to the solutions of several key scientific problems existed in fractional order gradient descent method and fractional order LMS algorithm. Additionally, we will provide numerical implementation for our theoretical results, in order to apply them to the practical fields of system identification and vibration control.

自适应滤波算法是近几十年发展起来的一种信号处理方法，该方法无需输入信号的统计特性，具有较强的适应性，其中建立在梯度下降法基础上的最小均方（LMS）算法，因其结构简单、性能稳定等特点在工程实际中获得广泛应用。然而传统LMS算法收敛速度慢的缺陷，严重限制了它的进一步发展。分数阶微积分的引入，能使该问题得以改善，却可能导致其它问题的产生，如较大的稳态误差和计算复杂度，以及不期望的超调等。本项目拟从分数阶微积分非局部特性的角度，研究分数阶极值问题，系统地建立分数阶梯度下降法的理论框架；进而通过更新方向优化和更新阶次自适应的方式，完善分数阶LMS算法，使其在提高收敛速度的同时抑制更新方向的紊乱、减小稳态误差、降低计算复杂度等。希望通过本项目的研究，解决分数阶梯度下降法和分数阶LMS算法中的几个关键问题，并在理论研究的同时赋予其数值实现方案，为其在系统辨识和减振控制中的实际应用提供科学指导。

自适应滤波算法是近几十年发展起来的一种信号处理方法，该方法无需输入信号的统计特性，具有较强的适应性，其中建立在梯度下降法基础上的最小均方（LMS）算法，因其结构简单、性能稳定等特点在工程实际中获得广泛应用。然而传统LMS算法收敛速度慢的缺陷，严重限制了它的进一步发展。分数阶微积分的引入，能使该问题得以改善，却可能导致其它问题的产生，如较大的稳态误差和计算复杂度，以及不期望的超调等。本项目从分数阶微积分非局部特性出发，研究了分数阶极值问题；进而通过四种方式在LMS框架下引入分数阶微积分——分数阶更新方式、分数阶梯度方向、分数阶隐含动态、分数阶随机扰动。对于第一类算法，分析了其收敛特性、暂态性能和稳态性能；讨论阶次对优化结果的影响，并设计了高效的阶次变化策略。对于第二类算法，为了解决分数阶极值不等于真实极值的问题，提出迭代初始值、截断高阶项和设计变阶次三种策略，实现了真正收敛，拓展了适用范围，提高了优化效率。对于第三类算法，其一直接法，将算法看成一个控制过程，直接设计各类控制器，达到快速、鲁棒、无超调等控制效果；其二间接法，构造收敛误差，建立收敛误差的动态方程，通过误差变量的收敛，进而使原变量收敛。对于第四类算法，通过主动引入具有重尾分布的随机噪声，利用这类噪声可能出现的长步长，逃离局部极值和鞍点。此外，基于所建立的分数阶LMS算法，为了突破梯度法的速度限制，引入了分块优化方法和正交变换方法；对于输入是有色噪声的情形，引入了偏置补偿机制。还完成了分数阶LMS算法的参数选择（阶次、步长、初始值、抽头数、分块策略、正交策略），性能分析（收敛速度、单调性、超调性、稳态误差），数值实现（对权重的分数阶微分、对步数的分数阶差分、显式、隐式）和应用拓展（系统辨识、扰动抑制、主动隔振、信道均衡）等相关研究。本项目的顺利完成，系统地建立了分数阶LMS算法的理论框架，且为其在实际工程中的应用奠定了坚实的基础。