函数空间上复合算子经典问题的新型刻画

This project is dedicated to the research on new characterizations of boundedness, compactness, essential norms and topological structure of composition operators on different function spaces, which is a hot topic in several complex variables and operator theory. More specifically, we will study the new characterizations of the boundedness, compactness, and essential norms of (weighted) composition operators on some holomorphic function spaces, such as BMOA space, Bergman space and Bloch type spaces in higher dimensional case. Furthermore, we will discuss the new estimates of the linear combinations and differences of (weighted) composition operators on these spaces. Finally, by using the results obtained above, we reveal the relation and difference between single variable and several variables, and operator theory between integral function spaces and non-integral function spaces. The problems involved in this project attract much more attention of the workers on several complex variables and operator theory at home and abroad, and some of the problems have a considerable significance in theory and applications.

本项目主要致力于研究各种函数空间上复合算子的有界性、紧性、本性模及拓扑结构的新型刻画，属于多复变函数论与算子理论中的前沿热点课题。具体而言，我们将深入研究高维BMOA空间、Bergman空间以及Bloch型空间等一些全纯函数空间上的（加权）复合算子有界性、紧性、本性模的新型刻画。然后进一步讨论这几类函数空间上（加权）复合算子的线性组合和差分的新型估计。最后利用所得结果，进一步揭示单变量与多变量、积分型空间与非积分型空间上算子理论的联系与不同。本项目所涉及研究是国内外多复变函数论与算子理论的研究工作者热心关注的课题，其中很多问题在理论和应用上具有十分重要的意义。

本项目主要致力于研究各种函数空间上复合算子的有界性、紧性、本性模及拓扑结构的新型刻画，属于多复变函数论与算子理论中的前沿热点课题。我们主要研究了单位圆盘和单位球上的全纯函数空间上（加权）复合算子的有界性、紧性的新型刻画，进一步讨论几类函数空间上复合算子的差分与拓扑结构。. 经过三年的努力，我们按照研究计划从单变量到多变量、从简单的Hilbert空间到一般的Banach空间，针对本项目的研究目标及拟解决的关键问题对研究内容进行了深入的研究。目前为止，本项目已经彻底的解决了单位圆盘上的Lipschitz空间上加权复合算子的差分与拓扑结构的刻画，并对于球上的Bloch空间上的复合算子以及微分与复合算子的积的有界性和紧性给出了一种新型刻画。与此同时，我们更深入的探讨了复合算子的一些复动力学性质，得到了一些新的有趣的成果。. 本项目已基本圆满完成了预期研究目标。研究结果更进一步揭示了单变量与多变量、不同函数空间上算子理论的联系与不同。