凸体迷向常数及若干相关问题研究

The upper bound problem of isotropic constants for convex bodies is equivalent to the slicing problem or hyperplane conjecture in convex geometric analysis. It is a well-known open problem in the local theory of Banach spaces. The goal of this project is based on the latest study achievements of L. Rademacher, combined with the applicant's initial achievements during her doctoral studies, make comprehensive use of the methods of the any dimension sub-space projection of compact sets and hypersphere symmetrization(The applicant's specialization during her doctoral studies), to use the cone measure transport, symmetrization or asymmetrization rearrangement, the static and dynamic optimization control technology and probability theory, to study the properties of distribution of hyperspherical section functions of simplices and their hypersphere symmetrizing problems, the properties of distribution of hyperspherical section functions and hypersphere symmetrizing problems for John's convex bodies, comparison of the isotropic constants between John's convex bodies and simplices. The goal of this project is to promote some new developments on isotropic constants for convex bodies and their related problems a step forward，or to strive to make little breakthroughs in ones, to provide theories methods for its closely linked to many other fields, such as probability theoy, partial differential equations, Riemannian geometry, harmonic analysis and combinatorics, and to provide some new mathematical theory suport for its applications in robotic exploration, medical CT theory, information theory and inertial navigation. This project is the continuation and further development of the applicant's doctoral thesis.

凸体迷向常数上界问题与凸几何分析中的截片问题或者超平面猜想等价，是Banach空间局部理论中的著名公开问题之一。本项目基于L.Rademacher的最新研究成果，结合申请人博士期间所取得的初步成果，拟综合运用紧集向任意维子空间投影与超球面对称化技术(申请人博士期间专攻)、锥体积测度迁移方法、对称与非对称重排、静态与动态优化控制技术和概率论等方法，对John凸体超球截函数的分布性质与超球面对称化问题、单形超球截函数的分布性质与超球面对称化问题以及John凸体与单形迷向常数的比较问题展开研究。旨在推进凸体迷向常数及相关问题研究的一些新发展，力争有所突破，为其在所关联数学领域(概率论、偏微分方程、黎曼几何、调和分析和组合数学等)的应用提供一些新的探究途径，为其在机器人探索、医学CT理论、信息论和惯性导航中的应用提供一些新的数学理论支持。本项目是申请人博士论文的继续和深入。

凸体迷向常数上界问题与凸几何分析中的截片问题或者超平面猜想等价，是Banach空间局部理论中的著名公开问题之一。本项目是基于L.Rademacher的研究成果，综合运用紧集向任意维子空间投影与超球面对称化技术、锥体积测度迁移方法、对称与非对称重排、静态与动态优化控制技术和概率论等方法，对John凸体超球截函数的分布性质与超球面对称化问题、单形超球截函数的分布性质与超球面对称化问题以及John凸体与单形迷向常数的比较问题展开研究。旨在推进凸体迷向常数及相关问题研究的一些新发展，力争有所突破，为其在所关联数学领域(概率论、偏微分方程、黎曼几何、调和分析和组合数学等)的应用提供一些新的探究途径，为其在机器人探索、医学CT理论、信息论和惯性导航中的应用提供一些新的数学理论支持。. 我们一直围绕本项目中心问题迷向体迷向常数的上界问题展开研究与探讨，并得到了一些相关结论，同时讨论了与本项目中心问题其广泛应用背景方面问题，如讨论了一般测度静电q容量Lp-Minkowski问题解的存在性问题，讨论了一般(p,q)混合投影体及其极体体积的极值问题，讨论了多胞形的Orlicz静电q容量Minkowski问题解的存在性问题，建立了关于一般复Lp投影体的Brunn-Minkowski型不等式和一般复Lp混合投影体的Aleksandrov-Fenchel型不等式，建立了复Lp质心体的Brunn-Minkowski型不等式和单调性不等式，建立了凸体一般i次Lp混合宽度积分的Brunn-Minkowski型和循环Brunn-Minkowski型不等式，讨论了不可压缩无粘Boussinesq方程光滑解的先验估计问题，研究了维分数阶扩散的MHD-Boussinesq系统等，都得到了一些比较好的结果。项目书中关于迷向常数的研究的确是一个难点，迷向常数上界问题虽进行了大量探讨和研究，一直难有实质性突破，主要是在其研究内容及相关背景知识涉及到的其他凸几何问题及偏微分方程等数学问题方面做了一些发展和突破。