β-展式中的收缩靶问题

The research on β-expansions and β-dynamical systems derives from the work of the famous mathematician Rényi. β-dynamical systems are models for expanding a real number in noninteger bases β, from which we can obtain a significant representation of real numbers. β-dynamical systems are essentially different from dynamical systems corresponding to the expansions on integer bases, β-dynamical systems do not have the finitely Markov property in the view of dynamical system, all information of the dynamical systems is already contained in the orbit of 1. Therefore, the investigation of β-expansion has been always one of the important topics in the metric number theory and dynamical system.. The project intends to initiate a study on the shrinking target problems for β-expansions: At first, we will study the dependence of the dynamic behavior of β-expansions on the parameter β; then, the relationship between the distribution of the orbits and β will be studied, further explore the measure theory and fractal dimension corresponding to this issue. In this project, the basic theory of the shrinking target problems for β-expanssions will be completed, the metric theory and the fractal dimension theory of β-expansions 
will be developed. Then, the new methods and techniques derived from our research will be applied to the fractal theory.

β-展式和β-动力系统的研究起源于著名数学家Rényi的工作。在实数的表示理论上，β-展式是通常整数进制展式的推广，是实数的一种重要表示方法。从动力系统的观点看，β-动力系统与整数进制展式对应的动力系统有着本质的区别，比如，β-动力系统不具有有限Markov性；但与之关联的符号动力系统的信息完全由1的轨道决定，这使得β-动力系统的研究一直是度量数论、动力系统研究的重要课题之一。. 本项目拟展开对β-展式中的收缩靶问题的研究：研究β-展式的动力学行为如何随β的变化而变化；讨论轨道的分布状况与β的依赖关系及相应的度量性质和分形结构。完善β-展式中的收缩靶问题的基本理论，发展β-展式的度量理论和分形维数理论，并将研究上述问题时发现的新的方法和技巧应用到分形理论的研究中。

本项目结合分形几何的方法与技巧、动力系统以及实数的表示理论，研究β-展式中的收缩靶问题。β-展式是实数的一种重要表示方法，其对应的β-动力系统则是典型的一维非Markov动力系统。这使得关于β-展式的研究一直是度量数论与动力系统研究的重要课题之一，具有重要的意义：一方面可以加深对实数的表示理论的认识；另一方面可以为一般的一维非Markov动力系统的研究奠定基础。我们研究了β-展式参数空间中的收缩靶问题，分析了轨道的分布与参数β的依赖关系，以及研究过程中所产生的关于实数的表示方法的相关问题。我们得到了Lüroth展式以及无穷迭代函数系统中数字序列具有不同分布特点的点组成的集合的分形维数方面的结果；得到了β-展式参数空间中收缩靶问题的分形维数结果。