能量守恒或散逸性的偏微分方程的保结构算法研究

The project belongs to the basic research. It mainly studies the average vector field method based on the discrete gradient method、 the discrete variational derivation method based on the discrete function theory、 the Hamiltonian system boundary value method based on the the line integral theory and the application of these methods in the high dimensional energy conservative or energy dissipative partial differential equations， discloses the relation of the enengy conservation preserving and enengy dissipation preserving methods and the other structure preserving algorithms，extends the energy preserving method of the Hamiltonian system to the other structure energy conservation partial differential equation. The research content is the new research focus in the structure preserving algorithm，which has distinguishing feature. The study result has novelty and international pioneering. The applicant is engaged in the theory and application study of the different computational methods in the structure preserving algorithm for long times. The project teams have the prime study to the study content of the project, which have good foundation. At the same time, the scientific computational laboratory of Hainan university provides good scientific computational condition for the implement of the project. The study of the project provides the better exact computational method for the energy conservative or energy dissipative partial differential equation in physics and mechanics. The study of the project has important meaning in developing the theory of structure preserving algorithm of differential equation in computational mathematics, enhanceing the development of computational mathematics of Hainan university and forming the obvious effect scientific computational team in china.

本项目属于基础性研究，主要研究基于离散梯度法基础上的平均向量场方法、基于离散函数分析基础上的离散变分导数方法、基于线积分理论上的哈密尔顿系统边界值方法及其在高维能量守恒或能量散逸性偏微分方程中的应用,揭示保能量守恒和保能量散逸算法与其他保结构算法的关系，推广哈密尔顿系统的保能量方法到其他结构的能量守恒偏微分方程中。研究内容是保结构算法中新的研究热点，具有显著的特色。研究成果具有创新性和国际前沿性。申请人长期从事保结构算法中不同计算方法的理论和应用研究。项目组成员对项目研究内容有了初步的研究，具有良好的基础，同时海南大学科学计算实验室为本项目的实施提供了良好的科学计算条件。本项目的研究为物理和力学中一些能量守恒或能量散逸性偏微分方程的数值模拟提供更加精确的计算方法，对发展计算数学中微分方程保结构算法的理论，对促进海南大学计算数学的发展和在海南大学形成在国内有影响力的科学计算团队具有重要意义。

许多微分方程具有能量守恒或能量散逸特性。构造微分方程保能量格式或保能量散逸性格式在数值模拟微分方程中具有重要意义。本项目主要研究国内外保能量守恒和保能量散逸性方法的最新理论和用新的方法构造能量守恒的哈密尔顿系统和多辛结构偏微分方程的高阶保能量格式。在国家自然科学基金项目的资助下，我们对保能量守恒和保能量散逸性方法进行了深入的研究，取得了一系列重要的科研成果。把保哈密尔顿系统能量守恒的高阶平均向量场方法应用于物理学中复修正KdV方程、耦合Ito-KdV方程以及二维Good Boussinesq方程等不同类型的偏微分方程中的计算，对改进这些能量守恒偏微分方程的计算具有重要意义。我们把高阶平均向量场方法与其他高阶保能量方法进行了比较研究，并应用于sine-Gordon方程的计算，分析了不同高阶保能量格式的优劣。我们在二阶保能量平均向量场方法的基础上，通过组合方法,提出了哈密尔顿系统和多辛结构微分方程的新的四阶保能量组合平均向量场方法，同时我们也开展了Poisson系统的高阶保能量守恒方法的理论和应用研究。. 我们圆满地完成了项目计划的科研任务，研究成果发表在国内外重要期刊上，如Applied Mathematics and Computation，Numer.Math. Theor. Meth.Appli.，计算数学等期刊上,已发表科研论文18篇。同时有其他4篇期刊论文已接收，有3篇正在评审。我们在国内重要微分方程数值方法会议上作学术报告; 并指导了8名硕士研究生。研究生闫静叶获得了国家奖学金和海南大学优秀研究生，闫静叶和陈宵玮分别考取国防科技大学计算数学博士，孔嘉萌考取哈尔滨工业大学计算数学博士，项目负责人获得了海南省优秀硕士论文指导教师称号。项目组成员积极参加国内微分方程数值会议。2017年我们在海南大学承办了第十五届微分方程数值方法学术会议暨第十二届仿真算法学术会议。. 本项目的研究成果发展了保结构算法中保微分方程能量守恒和能量散逸性方法理论和应用，对正确地模拟具有能量守恒和能量散逸性的偏微分方程具有重要的意义，促进了海南大学计算数学学科的发展，为海南大学申报数学学科博士点创造了条件。