组合设计中的凯莱同构问题及相关计数问题

The Cayley isomorphism problem is one of hot topics in the research of algebric graph theory. Classical Cayley isomorphism problems focus on Cayley graphs. This project is devoted to using techniques from combinatorial designs and combine methods from group theory and algebric graph theory to discuss Cayley isomorphism problem for designs, which is closely related to the classification and counting problem for designs. The main interests in the project include: investigate Cayley isomorphism problem for cyclic designs, for instance establish infinite families for cyclic Steiner quadruple systems satisfying (or not) Cayley problem, and establish existence of cyclic Steiner triple systems with non-trivial multiplier automorphism; discuss Cayley isomorphism problem for packings, for example examine Cayley isomorphism property for cyclic packings with two or more base blocks, give exact counting formula in some circumstances, and classify optimal cyclic packings with small orders; consider Cayley isomorphism property for designs admitting non-cyclic groups such as products of cyclic groups or dihedral groups as their automorphism groups. This project will be helpful to supply more new ideas to deal with problems on combinatorial designs.

凯莱同构问题是代数图论研究领域的热点课题，经典的凯莱同构问题主要讨论凯莱图的凯莱同构性。本项目旨在利用组合设计的理论及研究方法，结合有限群论、代数图论等多个分支学科的技术特点，讨论组合设计中的凯莱同构问题。该问题与具有特殊自同构群的组合设计的分类和计数有密切关系。主要研究内容包括：讨论循环设计的凯莱同构问题，如构造多个满足（或不满足）凯莱同构性的循环斯坦纳四元系的无穷类，建立具有非平凡乘子自同构的循环斯坦纳三元系的存在性；讨论循环填充的凯莱同构问题，如研究具有两个或多个基区组的循环填充的凯莱同构性，针对某些情况给出精确的计数公式，对小阶数最优循环填充进行分类计数；讨论以非循环群（如循环群的直积或者二面体群等）为自同构群的组合设计的凯莱同构性。本项目有助于为组合设计问题的研究提供多种可能的新方法和手段。

本项目研究组合设计中的凯莱同构问题，该问题与具有特殊自同构群的组合设计的分类和计数问题有密切关系。分类和计数问题的前提是离散结构的存在性，本项目同时研究具有特殊自同构群的组合设计的存在性和构造问题。本项目的主要研究成果包括：确定了区组大小为4的循环2-设计的存在谱，这是1939年以来相关工作最重要的进展；解决并推广了Novak在1975年提出的关于循环斯坦纳三元系的猜想；给出了目前仅知的两个不满足凯莱同构性的循环斯坦纳四元系的无穷类；证明所有4p阶循环斯坦纳四元系都满足凯莱同构性，其中p≡7,11(mod12)是素数；解决了9p阶（p是素数）循环群上4行差阵的存在性，这是有20年以上历史的组合设计中的公开问题；建立了定义在广义二面体群上4行差阵的存在谱；部分回答了Etzion和Silberstein关于Ferrers图秩度量码的猜想；建立了具有两个或三个基区组的某些强差族类的不存在性以及一些参数类的强差族的存在性；相关结果用于构作光正交码、光正交签名模式码、多路无冲突码、几何正交码等多个具有重要应用背景的码类。本项目执行期间，项目组在国内外重要学术期刊发表论文20余篇，对组合设计理论的完善有积极意义。