无限时区上的非凸最优控制问题

This project is concerned with the infinite horizon nonconvex optimal control problems. The nonsmoothness nature of these problems will lead to some particular properties of the optimal control, for example the sparsity and the switching properties. The study on these types of properties is an important topic in the respect of both theory and applications. We will first discuss the existence of optimal solution for the nonconvex problem in the space of sequences. Secondly the maximum principle for the optimal control in the space of sequences will be derived. Then we will investigate deeply the sparsity and the switching properties of the optimal control, and we will make comparisons with different choices of nonconvex cost functionals. Finally, the numerical schemes will be designed via the dynamic programming approach to compute the sparse control and switching control for the infinite horizon optimal control problems.

该项目拟开展无限时区上的非凸最优控制问题的研究。该问题的非光滑性将导致最优控制存在一些特殊的性质，如稀疏性及摆动性。而对这类性质的研究有着重要的理论意义和应用背景。首先，我们将讨论该非凸问题在序列空间上的最优解的存在性。其次，对序列空间上的最优控制建立最大值原理。接着我们将深入研究最优控制的稀疏性及摆动性，并比较不同的非凸性能指标的选择对这类奇异性质的影响。最后，我们将利用动态规划方法针对这类无限时区上的最优控制问题的稀疏控制及摆动控制进行数值计算方法设计。

该项目研究无限时区上的非凸最优控制问题。主要研究内容有非凸最优控制的存在性，最大值原理，稀疏性及摆动性等性质，以及数值方法。该项目得到了非凸最优控制在分段常值函数空间的存在性结论，并在这一框架下建立了非凸最优控制所满足的最大值原理。基于这一最大值原理，我们证明了非凸最优控制的稀疏性及摆动性等性质，并给出了性能指标中不同参数对这些性质的具体影响。这些主要结论都在数值模拟中得到了验证。该项目推动了经典的凸的最优控制问题向非凸最优控制问题的拓展研究。