非线性软物质弹性材料的数值计算研究

高分子聚合物、生物软组织等软物质材料会呈现出许多不同寻常的非线性物理现象。本项目将针对橡胶、高分子复合材料、肌肉、皮肤等软物质弹性材料的若干非线性物理现象，如空穴的生成与塌缩、褶皱的斑图形成与演化、生物软组织在生长及外环境作用下的损伤等方面的问题开展数学物理建模、算法设计与分析、数值模拟等方面的科学计算研究。我们将应用处于迅速发展之中的非线性偏微分方程、非线性变分学、多尺度分析、非线性最优化等非线性分析的理论和方法，以及有限元自适应和网格变换、广义有限元等工具，研究相应的非线性偏微分方程和变分问题的奇性解、分歧解、多解、超大变形解、多尺度解等的高效的数值算法，并通过大量的数值实验模拟相应的非线性物理现象。作为算法研究的基础工作，本项目将深入研究网格自适应方法和网格变换法、多尺度局部有限元形函数和广义有限元方法、非线性最优化方法，尤其是高效的求解鞍点问题的非线性最优化方法等。

高分子聚合物、生物软组织等软物质材料会呈现出许多不同寻常的非线性物理现象。本项目针对橡胶、高分子复合材料、肌肉、皮肤等软物质弹性材料的若干非线性物理现象，如空穴的生成与相互作用、褶皱与翘曲的形成与演化机理等方面的问题开展了数学物理建模、算法设计与分析、数值模拟等方面的科学计算研究。针对与非线性弹性软物质材料空穴生成现象及电话线型薄膜翘曲相应的非线性偏微分方程和变分问题的奇性解、分歧解、多解、超大变形解等提出了若干新的高效的数值算法，例如：计算空穴问题的双参和等参三角形有限元方法、双二次双参和等参矩形有限元方法；计算电话线型薄膜翘曲的多端点型拟谱方法等，通过大量的数值实验成功有效地模拟了相应的非线性物理现象，并首次成功地给出了双二次双参矩形有限元方法空穴计算算法的数值分析结果，该结果不仅为双二次双参矩形有限元方法空穴计算的可靠性和有效性提供了理论基础，也为空穴计算数值分析探出了一条可行的途径。作为算法研究的基础工作，本项目还开展了高效求解非对称鞍点问题的非线性最优化方法，并成功地给出了若干有效的新算法，例如：连续形式的Gauss-Newton方法、新型Uzawa 型算法等。