Ramsey理论问题中的正则引理及随机方法

Ramsey theory is a branch of Extremal graph theory with strong theoretical and the problems in which are always difficult, its research has important significance to the development of graph theory. Szemeredi's regularity lemma is a powerful tool on the study of extremal graph theory, it has dramatic influence on extremal graph theory and even other Branches of mathematics. ..Regularity lemma discribes such a surprising fact that any sufficiently large graph can be seen as a random graph in some particular sense by deleting a small subgraph. In this project, we mainly study that how to character such a description and how to do a specific description for different classes of graphs. In particular, we mainly study three classes problems as follows: (1) Using regularity lemma together with probabilistic method (quasi-random method) to disccuss some Ramsey-type problems involving graphs with given maximum degree; (2) Estimating the upper bounds and lower bounds of some Ramsey numbers (or multicolor Ramsey numbers) that involving dense graphs, and discussing the quasi-random property of a class of graphs that obtained from algebraic construction; (3) Studying the asymptotic order of some multicolor bipartite Ramsey numbers involving graphs that have good structure.

Ramsey理论是极值图论这一分支中理论性较强，难度较大的一部分，其研究对极值图论的发展有着重要意义。Szemeredi正则引理是极值图论研究中强有力的工具，它在极值图论甚至数学其它分支都有很大的影响力。.正则引理表述了这样一个令人惊讶的事实，任何一个充分大的图，都可以去掉一个充分小的子图，使得它可以被看成是特定意义下的随机图。对不同的图类，如何进行这样的描述，和怎样做特定的描述，是本项目着重研究的内容。特别地，本项目将讨论以下三类问题：(1）利用正则引理结合随机方法(拟随机方法)讨论含最大度有限的图类的几个Ramsey类型函数问题；（2）估计某些含某些特殊图类多色Ramsey数的上下界，并且讨论一类由代数构造而得的图类的拟随机性质；（3）讨论含某些结构较好的二部图的多色二部Ramsey数的渐进阶。

Ramsey理论源起于 1930 年英国剑桥大学年轻数学家 Frank Ramsey 文章中经典的 Ramsey定理。Ramsey理论是极值图论这一分支中理论性较强，难度较大的一部分，其研究对极值图论的发展有着重要意义。Szemeredi正则引理是极值图论研究中强有力的工具，它在极值图论甚至数学其它分支都有很大的影响力。.本项目主要研究内容和所获得的的重要的结果如下：.1、关于书形图(book)的Ramsey数追溯至Erdos，Faudree，Rousseau，schelp以及Rousseau和Sheehan等人的文章。我们得到关于大的书形图(book)对星与固定图联图非goodness的新成果，我们的结论得到许多有意思的推论。特别的，我们的结果隐含了Nikiforov和Rousseau(2004,JCTB)上的一个结果。审稿人评价我们的论文有新意，且相当有意思。.2、奇圈的多色Ramsey数的估计是Ramsey理论的难点，进展缓慢，1973年，Bondy和Erdos给出了它的一个上下界，其下界为2的k次这样指数形式的函数，而上界为k的阶乘形式的函数；同年Erdos和美国科学院院士Graham得到稍微好一些的上界。项目组借助于拉格朗日乘数法对所有固定圈长的奇圈k色Ramsey数的上界进行了改进，将其降为k的阶乘开平方级别形式的上界。.3、关于非完全二部图的二部Ramsey数的研究较早要追溯到Faudree和Schelp (1975,JCTB)一篇文章，这篇文章确定了所有关于路对路的二部Ramsey数。关于偶圈的结果只有4圈或者6圈对长偶圈的两个结果，见Zhang，Sun和Wu (2011，2013)。项目组在长圈和二部图的Ramsey数方面取得了突破性的进展，我们得到所有最大度有限的平衡二部图类的二部Ramsey数是线性的。特别的关于长为2n的偶圈的二部Ramsey数为(2+o(1))n。美国数学评论认为“关于二部Ramsey数的上界是嵌入引理的一个巧妙应用”。