周期边界时空离散反应扩散系统的动力学分析

Many application problems in Physics, Chemistry, Biology, Control, Neural Network, etc. can be expressed by the spatiotemporal discrete reaction diffusion systems (or equations). So far, the existence of steady state sulutions, homoclinic orbits and periodic traveling wave solutions for the reaction difussion equations with 1-dimensional and simple state variable have been widely studied. However， elementary results on bifurcation, periodicity, etc. are rarely known for the 2(or n)-dimensional reaction systems with two state variables. In this project, we will consider such systems and investigate their bifurcation parameters and types for standard expression；establish the central manifold theorem and give calculation for their central manifold for some particular models；discuss the dependency of patterns on the initial values using the basic theory of discrete dynamical systems. By applying the groundwork of nember theory, we will give necessary and sufficient conditions for the expresion of a traveling wave. Existence of the steady state solutions, periodic traveling wave solutions and the homoclinic orbits will be obtained by applying nonlinear funtional analysis. Since many of the discussed problems have not been studied previously, it is necessary to investige new methods. The restuls will enrich the spatiotemporal discrete dynamical systems and provide some theoretical foundations for application problems.

物理、化学、生物学、控制、神经网络等大量的应用问题可以用满足周期边界条件的时空离散反应扩散系统（或方程）描述。目前，一维单状态变量反应扩散方程稳态解、同宿轨道和周期行波解的存在性已被广泛研究，但有关二维或高维双状态变量反应扩散系统的分歧、周期性等基本理论很少涉及。本项目主要以双状态变量的时空离散反应扩散系统为研究对象，以离散动力系统的基本理论为工具，确定模型的分歧参数及相应的分歧类型,研究其规范型理论，建立中心流形定理并给出一些模型中心流形的判据，讨论斑图的初值依赖性问题；利用数论的一些基本知识，给出行波解可表达成整数函数的充分必要条件；应用非线性泛函分析知识，获得稳态解、同宿轨道、周期行波解存在性结果。本项目所研究的内容多数在国际上尚未涉及，必然将获得一些新的研究结果，为此需要探索一些新的研究方法。这些新方法和新结果可以丰富时空离散动力系统的内容，为应用问题提供理论依据。

目前，有关二维或高维双状态变量时空离散反应扩散系统的分歧、周期性等基本理论很少涉及。.课题研究4个方面内容：(1) 稳态解的存在性;(2) 同宿轨的存在性;(3) 斑图动力学中斑图形成的影响因素分析;(4)系统的动力学分析：分支与中心流形。.本项目获得的主要研究结果如下：.（1）将零点存在定理推广到了离散两点Dirichlet边值问题，获得了正解的存在性；进一步将大量的问题总结为非线性代数系统，给出了线性和非线性条件相结合结论；并将结果进一步扩展到了一般的非线性算子方程；对系数矩阵有零元素的非线性系统，得到了正解的存在性；利用临界点理论，获得了离散波方程时间周期解的存在性结果；利用上下解方法，讨论了一个任意维离散Dirichlet问题，给出了上下解定义，获得了正解的存在唯一性结果。.（2）得到了一类出生速率可正可负的离散 logistic 定态方程有界正解的存在性和有界正同宿轨的存在唯一性定理；得到了离散波方程在谱缝隙时间同宿轨的存在性结果。.（3）从理论上研究一类二维耦合映射格系统斑图形成对初值依赖的数学机理，初值能通过二维离散Laplace算子特征值线性表示，斑图形成受初值影响的渐进行为被找到；研究了带有周期边界条件的Leslie-Gower竞争模型由扩散引起的不稳定性，给出共存不动点和单物种灭绝不动点处的不稳定性条件。.（4）研究了带有狄利克雷边界条件的离散分式人口模型,得到了稳态解的存在唯一性的一个充要条件,利用分叉方法,中心流行定理,和分叉图及利亚诺夫指数图讨论了一个特殊的二阶段复合人口模型的动力行为,得出这个模型存在三叉分叉,flip分叉和混沌，事实上，这些现象是由简单的扩散引起的；研究了离散Lotka-Volterra模型动力学行为，利用中心流形定理得到了产生Flip分支的条件并给予了数值验证；研究了一类logistic模型的局部分支行为，应用中心流形定理表明，系统会产生Flip分支，当参数变化时，系统会展现丰富的动力学行为比如周期倍分，混沌等。.本项目的研究成果及研究方法丰富了时空离散动力系统的内容，为应用问题提供理论依据。