关于偏微分方程解的正则性及奇点集结构分析

本项目拟对偏微分方程解的正则性及奇点集的结构进行分析。这方面很多问题还没得到解决。我们主要讨论以下几个相关的重要问题。一是关于超临界非线性半线性抛物偏微分方程解的奇点集Hausdorff维数的最优上界估计，二是薄流体型偏微分方程非负解零点集的大小估计。三是关于半线性椭圆型偏微分方程静态解的奇点集Hausdorff维数的最优上界估计，最后一个问题是关于静态的调和映照的奇点集Hausdorff维数的最优上界估计。对于能量极小的调和映照，R.Schoen和Uhlenbeck[SU]在1982运用维数归纳的方法给出了奇点集的最优上界。林芳华于1999年将这个结果推广到静态的调和映照上，不过要加入额外的限制，即调和2维球面的非存在性。我们希望能移去这一限制，给出一个完整的结果。研究所用方法主要是几何测度论中的技巧与工具。

本项目主要研究了.(1)非线性程度为临界增长时的半线性拋物方程边界弱解的部分正则性，得到了相关近似椭圆方程的部分正则性结果。作为应用，得到了边界弱解u(x,t)当时间参数t趋于正无穷时的渐进特性。准确地说，得到了边界解能量极限值的精确值为标准bubble能量的整数倍，分别对应于当t趋于无穷时，u(•,t)的Palais-Smale条件状态。.(2)四阶退化拋物薄流体方程非负弱解的存在性及Laugesen泛函的单调性。作为应用，得到改进后的关于零点集的部分正则性结果。.(3)非线性程度为超临界增长时经典半线性椭圆方程静态弱解奇点集Hausdorff维数的最优上界估计。.(4)[05,Ma-Trudinger-Wang]文中首次得到了判定最优映照光滑的充分条件，这一条件的较弱的版本在之后的一篇文章[09,Loeper]中被证明也是最优映照连续的必要条件，因此变得重要。我们讨论了成本函数为测地距离平方时，黎曼曲面上Ma-Trudinger-Wang曲率张量正性的显式判定条件。.(5)讨论在不同度量下，光滑的或者连续的调和同胚的存在与非存在性。