带边曲面自同胚的自由度与Out(Fr)

曲面自同胚的自由度问题是经典而有丰富数学内涵的课题。闭曲面所有自同胚的自由度已经得到确定。但其方法在带边曲面情形并不适用。本项目用几何群论的方法研究带边曲面自同胚的自由度问题。另外，项目还将探讨pseudo-Anosov自同胚的自由度与它的扩张度（dilatation）的联系，并在此基础上研究自由群Fr在R-tree上作用的奇点类型。

假设f是紧流形M的自同胚,如果存在一个整数n,使得f^1,f^2,......,f^{n-1}没有不动点,但f^n有不动点,则称f的自由度为n. n事实上代表f的周期点的最小周期.自由度这个量无论对拓扑学领域或者对动力系统领域而言都是一个重要的量.对一般的流形，由于人们对其自同胚的认识还比较有限,因此讨论周期点的周期问题更多的利用代数工具，例如Lefschetz不动点定理等.我们的课题将流形局限在二维,对紧曲面自同胚的自由度问题进行了深入研究.我们结合紧曲面自同胚的Nielsen-Thurston分类以及不动点理论,证明了对于g亏格b个边界的紧曲面S,其任何一个自同胚的自由度都小于等于24g-24.特别的,当可定向带边曲面亏格为2时,其自同胚的自由度有精确上界12.我们还发现这种方法可以应用在曲面群自同态的不动子群的研究上.