非平稳信号分析与处理的多项式Fourier变换

非平稳信号的分析和处理是信号处理领域所面临的热点问题之一，高效、精确的非平稳信号分析与处理方法对于更准确地认识自然界本质具有重要意义。本项目在多项式Fourier变换的原理上，开展非平稳信号分析与处理处理方法的探索性研究。主要研究：（1）多项式Fourier变换的数学原理，在计算精确度、离散方法及快速计算方面作进一步的探讨，完善多项式Fourier变换的理论体系；（2）探索多项式Fourier变换与现有时频分析法的关系及其用于典型非平稳信号分析与处理的理论与方法，揭示多项式Fourier变换应用于非平稳信号分析与处理的基本机理，扩展现有Fourier变换与非平稳信号分析与处理的理论体系。进一步，为寻求非平稳信号分析与处理的新颖工具建立理论基础，为实际中的非平稳信号分析与处理提供新思路。

项目组以现代信号分析与处理中的关键问题为研究背景，结合现代数学方法，研究了高效、精确的非平稳信号分析与处理的方法。在多项式Fourier变换的基本原理、离散化技术及快速算法、均匀（非均匀）采样理论、信号频谱分析与估计、线性调频信号的信噪比分析、代数信号的整体抽象描述和信号重构的等前沿研究方向上取得了许多研究成果。具体研究情况和成果如下：. (1)以线性正则变换的基本理论及应用为出发点，探讨了多项式Fourier变换的基本理论与方法。研究线性正则变换域的采样理论，提出了多项式变换域模糊函数与魏格纳分布的全新定义，建立了二维经典魏格纳分布与二维多项式变换间的关系，并研究了其性质及在处理非平稳信号时的优越性，并给出了魏格纳分布的各阶矩的估算,且在低噪比的情况下，该变换可以有更好的效果；研究了短时多项式Fourier变换的二维分辨率、支撑等特性,并用短时多项式Fourier变换的带宽乘积来表征其分辨率；关于线性调频信号，利用Gauss窗口函数提出了定量的信噪比(SNR)分析，证明多项式变换域中的SNR达到更高的水平。. (2)针对多项式变换特征值与特征函数的特点，推导出了多项式变换核函数的谱展开式和离散化多项式变换的表达式，且计算结果更近似于连续型多项式变换；将离散的多项式变换的表达式分解为Fourier变换，分数阶Fourier变换以及尺度变换的乘积，实现多项式变换的快速算法。. (3)详细研究了离散三角变换，得到DTTs的代数表征与具体实现形式；提出了一种新的基于切比雪夫多项式零点插值的信号重构方法。. 所有这些将为信号分析与处理的进一步研究提供思路和基础。