实对称阵的伴随图与特征值重数及相关问题的研究

In combinatorial matrix theory, its core is the research on combinatorial properties of matrices (i.e., the properties of matrices only relies on the zero-nonzero pattern). The best tool to characterize the combinatorial properties of matrices is various associated graphs of matrices. Recently, there emerges a popular research object in combinatorial matrix theory: the class of real symmetric matrices denoted by S(G), where all real symmetric matrices in S(G) have the same associated undirected simple graph (associated graph for short) G, and the zero-nonzero patterns determined by the off-diagonal entries of these real symmetric matrices are the same, which uniquely depends on G.. The concepts of P-vertex and P-set of real symmetric matrices are proposed based on the multiplicity of eigenvalues of matrices and Cauchy interlacing theory. This project will focus on the properties of P-vertex and P-set of matrices in S(G), mainly including: the upper and lower bounds of the number of P-vertices and the size of P-set of matrices in S(G); when G contains exactly one cycle, the characterization of P-vertex of matrices in S(G), and the “continuity” of the number of P-vertices; the characterization of the associated graphs of real symmetric matrices containing a P-set of maximal size. Furthermore, we want to extend the research on P-vertex and P-set to the elaborate matrices, and enrich the research techniques for the multiplicity of eigenvalues and rank of real symmetric matrices.

在组合矩阵论中，研究的核心内容是矩阵的组合性质（即仅与矩阵零位模式有关的性质）。矩阵的各类伴随图是刻画矩阵组合性质的最好工具。近年来，组合矩阵论涌现出一个热门的研究对象：实对称矩阵类S(G)，其中S(G)中的每个实对称阵的伴随无向简单图（简称为伴随图）皆为G，此时这些实对称阵的主对角线以外的元素具有相同的零位模式，并由图G唯一决定。. 实对称阵的P-点与P-集是基于矩阵的特征值重数以及Cauchy插值定理所提出的定义。本项目将研究S(G)中的矩阵的P-点与P-集的有关性质，主要包括：S(G)中的矩阵的P-点个数、P-集所含元素个数的上界与下界；当G只含一个圈时，S(G)中的矩阵的P-点的特征刻画、P-点个数的“连续性”；具有极大P-集的实对称阵的伴随图的特征刻画。此外，本项目希望以此将P-点与P-集的研究延伸到结构复杂的实对称阵，并丰富实对称阵的特征值重数与秩的研究手段。

组合矩阵论的研究核心是矩阵的各类组合性质（即仅与矩阵零位模式有关的性质）。特别地，人们常常运用矩阵的各类伴随图来刻画矩阵的组合性质，体现了数形结合的思想。. 实对称阵具有很多美观且令人印象深刻的性质，有鉴于此，实对称阵及其所导出的图是组合矩阵论中的重要研究对象。本项目选取了实对称矩阵类S(G)作为研究对象，其中S(G)中的每个实对称阵的伴随无向简单图（简称为伴随图）皆为G，也就是说，这些实对称阵的主对角线以外的元素具有相同的零位模式。. 实对称阵的P-点与P-集是基于矩阵的特征值重数以及Cauchy插值定理所提出的定义。本项目重点研究了S(G)中的矩阵的P-点与P-集的相关性质，主要包括：具有极大P-集的偶数阶奇异树矩阵（即伴随图为树的实对称阵）的伴随图的特征刻画；具有极大P-集的实对称阵的伴随图的特征刻画；图的几类矩阵的特征值重数与图的局部结构之间的联系等。. 此外，本项目还研究了几个与图的结构和图参数有关的课题，主要包括：给出了路和圈的预解能量的渐近表达式；给出了图的控制数与图的平均离心率之和的上界与下界；给出了图的ABC指数与图的半径之差的上界与下界；给出了取得最小ABC指数的树的结构特征等。. 本项目成功地将P-点与P-集的研究范围从树矩阵延伸到所有实对称阵，推广了关于P-点与P-集的现有结果，并丰富了实对称阵的特征值重数与秩的研究技巧。