结构自由振动精确求解的动力刚度法研究

结构的自振频率和振型反映结构的动力特性，是结构抗震设计的重要基础。本项目将动力刚度法拓展至各类杆系结构、板壳结构和索网结构的自由振动的分析。项目采用解析和数值解析手段获得这些结构构件单元精确的动力刚度系数，采用Hamilton体系技术和辛结构、相空间概念并结合解析和数值解析手段获得单元固端频率的计数，由此实现对结构频率的Wittrick-Williams计数。在此基础上，将频率计数纳入到导护型Newton法中，实现对结构频率和振型的同时求解，使各阶频率和振型都能达到用户指定的精度。该法对应于结构自由振动问题的精确解，能有效弥补常规有限元方法振型精度比频率低、高阶频率和振型精度尤低的不足，算法高效、可靠、实用，能很好地为工程实践服务，是对有限元法的重要补充。

项目将动力刚度法拓展至复杂杆系结构和板壳结构自由振动的分析。对复杂杆系结构，根据单元动力刚度与单元动力形函数间的取值关系，通过调用具有自适应求解功能的常微分方程求解器COLSYS求解单元动力形函数所满足的常微分方程边值问题，获得单元动力刚度的数值精确解。为获得单元的固端频率计数，视该固端单元为一子结构，以COLSYS求解该单元动力形函数的网格作为该子结构频率计数的子网格，由单元的动力形函数线性组合出该子网格下各子单元上的动力形函数，由此获得各子单元的动力刚度，由于COLSYS的自适应求解功能确保了各子单元在当前频率试探值下固端频率计数为零，对该子网格实施Wittrick-Williams算法即可获得单元固端频率的计数。进而可实现整体结构的Wittrick-Williams频率计数。根据单元动力刚度对频率的导数与单元动力形函数对频率的导数间的取值关系，通过建立单元动力形函数对频率的导数所满足的常微分方程边值问题，调用COLSYS对其进行求解，获得单元动力刚度对频率的导数的数值精确解。将动力刚度和动力刚度对频率的导数引入导护型牛顿法，可迅速求得结构精确的频率和振型。对轴对称板壳结构，通过引入自由振动环向的解析性，将其简化为一维自由振动问题，借助于辛结构、相空间概念建立其对应的位移、内力、刚度关系，从而可采用上述技术进行求解。数值算例表明，本方法准确、可靠、有效。动力刚度法虽然是一种精确单元方法，但受计算机字长和累积误差等因素的制约，在计算机上仍只能获得有限精度的解答。自适应有限元法根据误差要求调整网格，使解答满足给定的精度，因此从有限精度的角度，动力刚度法与自适应有限元法具有等价性。项目基于单元能量投影(EEP)超收敛计算，提出一种求解结构自由振动的自适应有限元法。在给定有限元网格下，先进行常规有限元分析得到该网格下的有限元解，随即将该解等价为相应线性问题的解答，从而将线性问题中业已成熟的EEP超收敛计算技术引入振型函数的超收敛计算，由振型函数的超收敛解估计振型函数的误差，根据误差生成新的网格，重复该过程，直到频率和振型的精度满足用户给定的误差限。由此形成了简便、有效、可靠的自适应求解策略。数值算例表明该算法准确、稳定、可靠，比动力刚度法更高效、通用。