无穷维反问题的贝叶斯方法及不确定性量化

Bayesian inferences have become increasingly popular as a method to solve inverse problems, largely due to its ability to quantify the uncertainty in the solutions. On the other hand, in many real-world problems, the unknown to estimate are often functions of space or time, and as a result, performing Bayesian inference in function spaces becomes an important task. In this proposal, we plan to work on this problems from theoretical, computational and applied aspects. Theoretically we shall design non-Gaussian prior measures that provide the proper prior information and meanwhile have some important theoretical properties. Computationally, we shall develop infinite dimensional MCMC and importance sampling algorithms for implementing the Bayesian inference in function spaces. Finally, we plan to apply the proposed theories and algorithms to seismic inversion, image reconstruction, and data assimilation problems.

贝叶斯推断作为求解反问题的一个手段近年来受到了越来越多的重视，这种方法的主要优势在于它在求得问题解的同时还能够对解的不确定性进行量化。另外一方面，许多实际问题（例如图像重构）中，未知量常常是一个无穷维的函数，因此在函数空间进行贝叶斯推断就成为了一个非常重要的研究课题。在本项目中，我们计划从理论，计算和应用三个方面研究函数空间的贝叶斯反问题。理论上我们希望研究和设计能够提供正确的先验信息同时又在函数空间满足一些重要理论性质的非高斯先验，特别地，我们希望借鉴确定性反问题的弹性网正则思想设计高斯测度与其他正则性条件相结合的混合型先验分布。计算方面我们希望开发维度无关的MCMC与重点采样法来实现函数空间的贝叶斯推断，并且利用自适应的思想来逐步优化算法并提高采样效率。最后，我们希望把发展的理论和计算方法应用到地震波反演，医学图像重构，以及数据同化等领域的实际问题中。

贝叶斯推断作为求解反问题的一个手段近年来受到了越来越多的重视，这种方法的主要优势在于它在求得问题解的同时还能够对解的不确定性进行量化。另外一方面，许多实际问题（例如图像重构）中，未知量常常是一个无穷维的函数，因此在函数空间进行贝叶斯推断就成为了一个非常重要的研究课题。在本项目中，我们从理论，计算和应用三个方面系统的研究了函数空间的贝叶斯反问题。理论上我们提出了能够提供正确的先验信息同时又在函数空间满足一些重要理论性质的若干非高斯先验分布，特别地，我们希望确定性反问题的弹性网正则思想设计高斯测度与非局部正则性条件相结合的混合型先验分布。计算方面我们开发了维度无关的MCMC与重点采样法来实现函数空间的贝叶斯推断，并且利用自适应的思想来逐步优化算法并提高采样效率。最后，我们把发展的理论和计算方法应用到医学图像重构和数据同化等领域的实际问题中。