半弧传递图与半边传递图的研究

In 1966 Tutte initiated an investigation of half-arc-transitive graphs by showing that a vertex- and edge-transitive graph with odd valency must be arc-transitive. Following the article, half-arc-transitive graphs have been extensively studied from different perpectives and there are many good results. We study the half-arc-transitive graphs on the following: the study of tetravalent half-arc-transitive graph; in this case, we want to determine the classification of the tetravalent half-arc-transitive graphs of order square-free. Primitive half-arc-transitive graph; in this case, we want to determine the smallest valency of the primitive half-arc-transitive graph and study the primitive half-arc-transitive graph with general valencies. . A graph X is said to be the half-edge-transitive if its full automorphism group Aut(x) is transitive on the vertex set and has two orbits with the same length on the edge-set and arc-set. Half-arc-edge graph is a new idea, which is. Now, all known non-normal Cayley graphs on alternating groups An are half-edge-transitive graphs. A natural question is that whether tetralvalent non-normal Cayley graphs on alternating group An are half-edge-transitive graphs? This is why we therefore believe that the family of half-edge-transitive graphs is worth invedtigating. In this case, we want to give some results of half-edge-transitive graph and classify some half-edge-transitive graph with special conditions.

半弧传递图的研究是由Tutte在1966年提出的, 他证明了不存在奇数度半弧传递图。此后，半弧传递图的研究从不同的方面得到了广泛的研究，并且已经有很多重要的结论。我们主要从以下几个方面研究：四度半弧传递图的研究，主要解决无平方因子阶四度半弧传递图的分类；点本原半弧传递图的研究，主要包括确定本原半弧传递图的最小度数，以及一般度数本原半弧传递图的存在性问题等。.一个图称为半边传递图如果它的全自同构群作用在顶点集合上是传递的，作用在边集合和弧集合上都有两个长度相同的轨道。它是我们最近提出的一个新概念，需要进一步的探索。目前已知的非交换单群上An的四度非正规Cayley图都是半边传递图。自然地问题是：An上的四度非正规Cayley图是否都是半边传递图？这是我们研究半边传递图的主要原因。另外，在这方面我们希望给出半边传递图的一些性质特殊条件下的分类。

半弧传递图的研究是由Tutte在1966年提出的, 他证明了不存在奇数度半弧传递图。此后，半弧传递图的研究从不同的方面得到了广泛的研究，并且已经有很多重要的结论。最近几年M.D.E. Conder, P. Potocnik, P. Sparl, Arjana Žitnik, A. Hujdurovic, K. Kutnar, D. Marusic, P. Spiga, G. Verret, R. Pozar等给出了很多半弧传递图的很好结果，他们主要从半弧传递图的度数，点稳定子群以及确定条件的半弧传递图的最小点数等角度去研究。.我们主要研究小度数半弧传递图的分类。主要给出了三个素因子乘积阶四度半弧传递图的分类以及2pq阶6度半弧传递图的分类。我们证明了pqr阶四度半弧传递图一定是亚循环图，并且是Frobenius群上的正规Cayley图。进一步，给出了同构意义下图的计数。同样，p2q阶四度半弧传递图也一定是正规Cayley图。有趣的是，这里面存在两个非亚循环半弧传递图的无限类。到目前为止，知道的大部分半弧传递图都是亚循环图，非亚循环半弧传递图只有很少的几类，这两类图的发现对研究非亚循环半弧传递图的研究有重要意义。同样，我们给出了同构意义下图的计数。.假设p，q是互不相同的奇素数。我们分q=3和q>3两种情况给出了2pq阶6度半弧传递图的分类。针对6p阶6度半弧传递图的分类，我们证明了6p阶6度半弧传递图如果存在一定是42个点上的6度图，并且商图一定是众所周知的Heawood图。但是这个图是否真的存在还需要进一步验证。针对2pq阶6度半弧传递图的分类，我们证明了2pq阶6度半弧传递图如果存在一定有p=7或者q=7，并且商图也一定是众所周知的Heawood图。但是这类图是否真的存在也还需要进一步验证。但是这与四度半弧传递图的分类结果完全不同。.K. Kutnar等在2013年给出了4p阶半弧传递图的分类，之后人们更关心4p阶对称图的分类。最近，我们给出了4p阶素数度对称图的分类。我们证明了4p阶素数度对称图同构于完全图K4p 满足4p-1=q, K2p,2p-2pK2 满足2p-1=q, 或者商图同构于完全二分图Kp,p 满足 p=q, 完全图K2p 满足 2p-1=q。这个结果有助于4p阶对称图的完全分类。