同调理论与低阶K群及其应用

本项目旨在研究环、代数的同调性质及其低阶K群，建立新的同调维数关系及新的同调群和K群正合列，获得K群和同调群的新关系；应用同调代数和代数K理论研究关于投射模的Serre问题；结合挠理论与余挠理论，研究一些相对模范畴的K群，由此达到对某些环、代数、模范畴的内部结构的新刻画。给出一般环的素谱与Rosenberg单边谱的关系及其各种拓扑性质，从而达到对一些新的环层、环模上的表示等方面的深入研究。利用Mayer-Vietoris序列研究在同态映射下低阶K群的变化情况，得到其新特征。利用C*-代数中的循环六项正合列研究K群的连接映射，以达到对C*-代数中的投影、单位的提升等重要问题的研究。该项研究不仅为一些重要的代数结构的研究注入了新思想、新方法，而且在算子代数、环论、非交换代数几何等学科中有着重要的应用。

围绕申请书中提出的研究任务，我们开展了一系列有效的研究，得到了诸多令人满意的结果，顺利地完成了项目预定的任务。 . 首先，我们对一些重要的范畴、环、代数的低阶K群进行了比较深入的研究。我们引入了局部有限BIB-秩和常数BIB-秩的概念，利用BIB-秩，我们给出了半局部环(不必交换)上有限生成投射模是自由的充分必要条件，极大地推广了Serre在局部环的相应经典结果；同时，我们还研究了K0群的行列式映射，给出了它们的新刻画；进一步地，我们研究了K0群的状态空间，得到了由偏序阿贝尔群的同态所诱导的状态空间的仿射映射是单、满及双射的条件，由此建立了半局部环的K0群的状态空间与其模去Jacobson根而得到的商环的K0群的状态空间之间的联系，推广了Alfaro等人的结论和Goodearl等人的结论。. 其次，我们对一些重要的范畴、环、代数的相对同调理论开展了深入探讨与研究。我们利用给定的模类Q和半对偶化模C，定义了新的模类Q(C)，给出了Q(C)的右正交模类是一个特殊的预盖类的条件；同时，我们将关于Wakamatsu-倾斜模的一些结论成功地运用到Auslander 类 和Bass 类这两类重要的模类的研究中，得到了这两类模类的新刻画；进一步地，我们还对可分范畴的相对投射维数及逼近理论进行了深入的研究，统一和推广了Araya等人、Auslander等人、Avramov等人、Christensen等人、Holm等人、Sather-Wagstaff等人关于G-维数为0的模、全自反模、Gorenstein投射模、Gorenstein平坦模、C- Gorenstein投射和C- Gorenstein-平坦模等模类的左分解的一些经典维数结果。. 最后，我们对一些重要的环（代数）进行了进一步的深入研究。我们引入了弱reversible环的概念，给出了这类环的刻画，推广了Kim 和Lee的相关结果；同时，我们得到了一个环是弱Armendariz环的充分必要条件。. 项目申请者的八名博士研究生参与了该项目，其中六人顺利毕业并获得博士学位，另外两人在读。本项目组成员完成论文（标注基金资助的论文）十九篇，其中发表SCI论文十一篇，被SCI杂志接受发表论文七篇。