凸约束优化中的若干非线性方程与不等式问题的研究

运用Banach空间几何学、线性拓扑空间理论、Banach空间中非线性逼近理论、不动点理论等现代分析的理论与方法，研究凸约束优化中的若干非线性方程与不等式问题的理论和算法，即研究两个方面：(1)凸约束优化中的若干非线性方程解的存在性与迭代算法；(2)凸约束优化中的若干非线性不等式问题解的存在性与迭代算法．本项目将为凸约束优化中迭代算法的研究提供新方法和新途径，并为现行数学技术提供强有力的工具，也为泛函空间中的算子逼近理论的研究和应用带来动力．本研究课题，是理论性和应用性都很强的边缘性交叉课题．在偏微分方程、力学、最优化与控制、运输与经济平衡、电路与结构分析、以及数学与工程科学中许多别的分支学科等方面都有着广泛应用．

自2011年以来，本课题一直致力于研究凸约束优化中一些非线性方程与不等式问题的理论与算法．具体地说，利用广义f-投影算子的性质与熟知的KKM 定理、Kakutani-Fan-Glicksberg定理，建立了自反的光滑Banach空间中广义集值混合(拟-)变分不等式解的一些存在定理；构造了一些具强收敛性的松弛与混合粘性迭代法，用于解Hilbert 空间中变分不等式一般系统、分裂可行问题及严格伪压缩映像不动点问题；建议了具强收敛性的混合粘性迭代法，用于解具一致Gateaux可微范数的一致凸Banach空间中变分不等式一般系统与无限族非扩张映像公共不动点问题；设计了具强收敛性的三步Mann迭代法，用于解一致光滑或具有弱连续对偶映像的一致凸Banach空间中变分不等式一般系统与无限族非扩张映像公共不动点问题；构造了具强收敛性的混合粘性CQ迭代法，用于解Hilbert 空间中变分不等式、变分不等式一般系统及依中间意义一致连续渐近严格伪压缩映像的不动点问题；引入了具强收敛性的两步松弛外梯度法，用于解2-一致光滑的或具有一致Gateaux可微范数的一致凸Banach空间中变分不等式一般系统与无限族非扩张映像公共不动点问题；引入了具正则化的多步隐式迭代法，用于解Hilbert 空间中凸连续的Frechet可微泛函的极小化问题与无限族非扩张映像公共不动点问题，并推导了强收敛；建议了具强收敛性一般迭代法，用于解具弱序列连续的广义对偶映像的q-一致光滑且一致凸的Banach空间中变分不等式系统与无限族非扩张映像公共不动点问题；把混合最速下降法、粘性逼近法及梯度投影算法的平均映像途径结合起来，设计了具强收敛性的迭代法，用于解Hilbert空间中的三重分层变分不等式．因此，对照课题申请书，所取得的成果，表明课题要求已顺利完成．