复形的Hall代数与导出Hall代数

The theory of Hall algebras is an important bridge between representation theory of algebras and Lie theory. The main objects of our research are the Hall algebras of complexes in the sense of Bridgeland and the derived Hall algebras introduced by To?n. We will use the results and methods from the representation theory of quivers and homological algebra freely, while paying special attention to the structures and properties associated with Lie theory. Firstly, we will study and compare the Hall algebras of complexes and derived Hall algebras of derived categories, then extend the construction of Hall algebras to the category of n-periodic complexes，which can also be compared to the derived Hall algebras for odd periodic triangulated categories. Maybe the latter algebras can give a realization of Lie super algebras. Secondly, we hope to extend the work of Bridgeland to the 2-periodic (A,c)-complexes, which were used to give a homological realization of quiver varieties. We will try to realize the enveloping algebras of Kac-Moody algebras and their highest weight representations. Thirdly， we will study the isomorphism between quantum Grothendieck rings and derived Hall algebras given by Hernandez and Leclerc, and try to establish a correspondence of braid group actions.

Hall代数理论是联系代数表示论和李理论的重要桥梁。本项目的研究对象是Bridgeland定义的复形范畴的Hall代数和To?n引入的导出Hall代数。我们将使用箭图表示和同调代数的结论和方法，尤其关注与李理论相关联的结构和性质。首先，我们将研究并比较复形范畴的Hall代数和导出范畴的导出Hall代数，然后将Hall代数构造扩展到n-周期复形范畴，与奇周期三角范畴的导出Hall代数作比较，并且试图用后者给出李超代数的实现。其次，我们希望将Bridgeland的工作推广到2-周期(A,c)-复形范畴上，由于后者给出了箭图簇的同调实现，我们试图用Hall代数方法研究Kac-Moody代数的包络代数及其高权表示的实现模型。再次，我们将研究由Hernandez和Leclerc给出的量子Grothendieck环与导出Hall代数的同构，试图建立辫子群作用的对应。

本项目主要研究Bridgeland意义下的Hall代数以及Toën定义的导出Hall代数，通过研究它们的结构和性质揭示代数表示论与李理论的深刻联系。众所周知，遗传代数的模范畴的Ringel-Hall代数可以实现量子群的正部分，这导致了Lusztig的典范基、Kashiwara的Crystal基等一系列重要成果的诞生。在整体实现量子群的研究中，Toën的导出Hall代数以及Bridgeland的Hall代数至关重要并且建立了新联系。为了更好地理解典范基的正性，cluster代数以及量子cluster代数的研究方兴未艾。我们的研究内容涉及到有限维代数的表示、Kac-Moody代数的（量子）包络代数、量子cluster代数等等。主要成果总结如下：.第一，给定一个奇周期的代数三角范畴，我们比较了Bridgeland定义的Hall代数和Toën，Xiao-Xu和Xu-Chen定义的导出Hall代数，证明了前者是后者与一个群代数的张量积的扭代数。.第二，设A为Dynkin箭图Q在有限域上的路代数，考虑由A的投射模构成的1-周期复形范畴。我们证明了这个范畴中Hall多项式的存在性，并利用退化的Hall乘法定义了一个李代数。然后我们用生成元和关系来刻画这个李代数。当Q为bipartite箭图时，这个李代数实现了相应的半单李代数的幂零部分。当Q为A型线性定向的箭图时，这个李代数实现了自由二阶幂零李代数。并且我们刻画了这个李代数的根系。这些联系是崭新的，被一些专家认为是Hall代数方向的重要进展。.第三，我们研究了Mirkovic-Vilonen多面体上的crystal结构。Anderson和Mirkovic定义了一个算子并猜测它等同于Kashiwara算子。利用Mirkovic-Vilonen多面体和预投射代数的联系，我们证明了Anderson-Mirkovic猜想的一部分，这回答了Kamnitzer的一个公开问题。 这被Transactions of AMS的审稿人认为是对组合表示论的重要贡献。.第四，对于赋值型箭图的量子cluster代数，我们利用Hubery的办法，证明了其中量子Caldero–Chapoton映射的乘法定理，并且由此构造了一些整基。