运动板的非线性振动和混沌

The classical nonlinear vibration theory and the modern nonlinear dynamics theory are applied and developed to investigate nonlinear vibration, stability and chaos of moving viscoelastic plates. In modeling, analysis and simulation, the essential characteristics of the moving viscoelastic plates which are gyro in the governing equation are focused on. Considering the nonlinear von Karman plate theory, the mathematical model of the in-plane vibration and surface vibration of the moving viscoelastic plates with complex constraint case is established. The natural frequencies and mode functions are solved by the analytical and numerical simulation methods. The steady state response and stability of the system are studied by the use of the approximate methods. The whole process of moving plates from instability to a periodic motion to the balance of the bifurcation and then into chaos is investigated. The nonlinear behavior (the bifurcated features and chaos) of the moving viscoelastic plates are studied by the use of numerical simulation. Through the implementation of this project, the theoretical framework of the non-linear vibration analysis of the moving viscoelastic plates is built; the scopes of application of the non-linear vibration theory and nonlinear dynamics theory are expanded; the approximate analytical and numerical methods of the nonlinear continuum (especially gyrostat) are improved; the understanding of nonlinear vibration characteristics, bifurcation and chaotic behavior is deepened; a theoretical basis and technical reserves for the corresponding analysis and design of engineering systems also are provided.

应用和发展经典非线性振动理论和现代非线性动力学理论，研究运动黏弹性板的非线性振动及其稳定性和混沌。在建模、分析和仿真各环节，聚焦运动黏弹性板的本质特征，控制方程中的陀螺项。考虑von Karman非线性薄板理论，建立复杂约束情况下运动黏弹性板面内及面外振动的数学模型；分别通过解析和数值仿真方法求解运动板的振动固有频率和模态函数；并以此为基础利用近似方法研究系统非线性振动的稳态响应及其稳定性；考察运动板从平衡失稳到周期运动再分岔进入混沌的全过程，采用数值仿真技术研究运动黏弹性板的分岔特性和混沌形态等非线性行为。通过本项目的实施，构建运动黏弹性板非线性振动分析的理论框架，拓展非线性振动理论和非线性动力学理论的应用范围，发展和完善非线性连续体(特别是陀螺体)的近似解析和数值解法，深化人们对运动黏弹性板非线性振动特性、分岔特征和混沌性态的理解，为相应工程系统的分析和设计提供理论基础和技术储备。

项目针对运动黏弹性板的非线性振动及其稳定性和混沌的问题，基于von Karman非线性薄板理论，构建了运动黏弹性板非线性振动分析的理论框架，拓展了非线性振动理论和非线性动力学理论的应用范围，发展和完善了非线性连续体的近似解析和数值解法。基于该项目得到的重要研究结果如下：.1) 总结了面内平动板的模态分析、线性参数振动、非线性自由振动、非线性参数振动和受迫振动的研究进展并提出了该研究方向今后尚待深入研究的若干重要问题；.2) 重点研究了带有黏性阻尼的面内平动板的两种物理模型，并分析了其动态稳定性，研究发现，这两种不同粘性阻尼模型具有定性上的差别，给出了这两种粘性阻尼模型在理论上的差别，以便在以后的实验中给予参照；比较了两种黏弹性本构关系对横向振动频率的影响，给出了不同方法下考虑以及不考虑物质导数时衰减系数和频率随着面内平动速度变化的情况，并给出了衰减系数和频率随着黏弹性系数变化的情况；基于系统的运动方程和四边简支的边界条件，对偏微分方程应用直接多尺度法建立了联合共振时的可解性条件，应用Routh－Hurvitz判据对系统幅频响应的稳定性进行了判别，给出了黏弹性系数、面内平动速度和激励幅值3个参数对幅频响应的影响；.3) 重点研究了黏弹性条件下非齐次边界条件对振动的影响和在稳定和分叉两种状态下梁的非线性稳态振动响应，给出了内共振时弱耗散系统的更加敏感的失稳边界；.4) 利用微分求积方法研究了两端简支轴向运动Timoshenko梁的横向振动的前五阶固有频率随轴向速度变化的情况；研究了轴向加速黏弹性Timoshenko梁的非线性参数振动，引入了参数激励、径向变化张力和轴向速度波动等因素，同时还考虑了有限支撑刚度对张力的影响，并应用Routh－Hurvitz判据确定了稳态响应的稳定性；.5) 研究了轴向加速粘弹性弦的稳态周期响应以及它们的稳定性，然后根据广义哈密尔顿原理和Kelvin黏弹性模型推导出横向非线性振动的控制方程，通过数值实例检验了阻尼、轴向平动速度、轴向速度波动幅值、轴支撑刚度对振动的幅值的影响；.6) 考察一类混沌演示实验装置-混沌摆。应用拉格朗日方程建立四自由度无阻尼非线性自由振动的动力学方程。用数值仿真揭示系统存在准周期运动和混沌运动，并说明了混沌运动具有初值敏感性。