基于张量结构和lq范数的低秩张量恢复和补全

Low-rank tensor recovery and completion are important topics in science and engineering because they are widely used in many real-world applications such as data mining, video signal and biological information data processing. Derivation of Accurate, efficient and robust tensor recovery and completion algorithms is a key problem in data processing. Based on the researches on matrix recovery and completion, and a deep study on the structure and characteristics of tensor as well as the components from its decompositions, we propose to derive new tensor recovery and completion algorithms to obtain better recovery and completion results. At the same time, by extending the analysis methods of recovery and completion algorithms from matrix subspace to tensor subspace, we explore the application mechanism of the tensor subspaces and the core tensor, and then perform the theoretical analysis of the tensor recovery and completion algorithms. Furthermore, by combing the idea of lq norm and the model of tensor recover, we propose the tensor recovery equations based on lq norm, and then apply the mathematical methods such as iteration procedure, l2 norm smoothing and convex optimization to derive corresponding algorithms, as well as extend it to the area of tensor completion. These researches will expand the application of high-dimensional tensor recovery and completion algorithms, especially robust algorithms, in many applications, and provide sufficient mathematical and theoretical analysis for the algorithms.

低秩张量恢复和补全是一个在数据挖掘、视频数据和生物信息数据处理等多个领域有着广泛应用的科学与工程问题。精确、高效和鲁棒性张量恢复及补全算法研究是数据处理中需要解决的一个核心问题。本项目通过深入研究数据的张量特性、张量分解所得元素的特征，在矩阵恢复和补全的算法的基础上，提出基于张量及其分解所得元素的结构和特征的算法，从而取得更好的恢复和补全结果。同时，通过将矩阵子空间的分析方法拓展至张量子空间，进一步的发掘张量子空间和核心张量的应用机理，从而从理论上对张量恢复和补全的方法进行深入的分析和探讨。更进一步地，通过结合lq范数的思想与张量恢复的模型，我们给出基于lq范数的张量恢复的公式，及应用迭代、l2范数平滑、凸优化等数学方法求解，提出相应的恢复算法，并将其拓展至张量补全中。本项目的研究将拓展高维张量恢复和补全的算法尤其是鲁棒性算法在多个领域中的应用，并为其提供充分的数学和理论依据。

低秩张量恢复和补全在数据挖掘、计算机视觉、阵列信号处理和生物信息数据处理等多个领域有着广泛的应用背景。随着现代信息技术及信息理论的发展，所观测到的数据，如多光谱图像和视频监控序列等，往往具有高维度的、复杂的数据结构，传统的基于矩阵的数据表达形式的方法已经不能很好的利用这些数据的张量结构，张量恢复的性能较低。同时，现有的数据恢复算法大多基于无噪声或高斯噪声环境，在如alpha稳定噪声、混合高斯噪声等冲击噪声环境下性能会急剧下降。因此，精确、高效和鲁棒的低秩张量恢复和补全算法研究具有重要的科学意义和很高的应用价值。..本项目深入地研究了张量恢复及补全中的关键理论和技术问题，包括基于新型张量结构及张量分解的张量恢复及补全方法、基于优化理论的鲁棒张量恢复算法。具体来讲，已经完成的任务有：.（1）利用张量的管状结构和三维张量与二维矩阵的对应关系，我们提出了多个基于张量-SVD分解方法的张量恢复算法；进一步地，针对图像和视频数据会受到如椒盐噪声等管状(tubal)冲击噪声污染的问题，构建了ltubal,p范数最优化的公式并用正交张量匹配追踪算法进行恢复，并进行了相应的数学分析。.（2）为了能更好地利用更高维的张量结构，我们将矩阵的多重克罗内克结构拓展至张量上，提出了基于克罗内克秩1张量链的张量恢复方法，并对其进行了分析；进一步的，结合张量的管状结构和多重克罗内克结构，提出了一种新型的广义张量管状秩（GTTR）及其对应的广义管状克罗内克分解方法，并基于GTTR的最优化得到了准确的张量恢复结果。.（3）对鲁棒张量数据和信号恢复问题，我们融合了矩阵或张量的秩、信号个数等的稀疏特性进行数学建模，提出了多个基于lp/lq范数（p,q<2）最优化的恢复和补全算法，明显改善了冲击噪声下的张量数据与信号参数的恢复性能。..在本项目开展的过程中，我们发表了SCI期刊论文9篇，EI会议论文4篇，申请发明专利1项。