连续时间马氏过程的指数非常返性

Stochastic stability for Markov process is an important branch of stochastic analysis. It is well known that recurrence and transience are two important stochastic stabilities. Comparing with the abundant study concerning recurrence, however, known results on transience are quite limited. The project is mainly devoted to discussing the exponential transience for continuous-time Markov processes. First, criteria for exponential transience will be presented through establishing the appropriate Foster-Lyapunov condition for the extended generator, or bounding the moment of the hitting time to some set. Moreover, by using the Foster-Lyapunov condition and comparing Lévy type operators with diffusion operators, we aim to study the exponential transience for stochastic differential equations driven by Lévy processes. Finally, we shall estimate the L^2-exponential decay by the Foster-Lyapunov condition and duality, and then investigate the convergence rates of exponential transience.

马氏过程的随机稳定性是随机分析理论的重要研究分支。一般来说，随机稳定性包括常返性和非常返性两大类，关于常返性的研究结果已经相当丰富，而对非常返性的研究却相对较少。本项目主要讨论连续时间马氏过程的一种最常见的非常返性—指数非常返性。首先，我们拟研究指数非常返性的判别准则，计划得到关于广义生成元的Foster-Lyapunov条件和某集合击中时的矩条件。其次，我们考虑利用Foster-Lyapunov条件，并将Lévy型算子与扩散算子作比较，研究由Lévy过程驱动的随机微分方程指数非常返性的显示判别。最后，本项目计划利用Foster-Lyapunov条件和对偶变换估计L^2指数衰减速度，进而研究指数非常返的收敛速度。

本项目探讨了马氏过程的随机稳定性，该内容具有重要的理论价值和广泛的应用前景，是概率论中的热点课题。首先，我们建立了非线性自回归模型指数非常返的显示判别，对该具体马氏链的研究有助于人们解决更多的实际问题，并且可以启发我们对一般马氏过程指数非常返性的思考。其次，由 Lévy 过程驱动的随机微分方程的代数遍历性得以研究，这不仅加深了人们对 Lévy 过程的认识，而且为我们后期进一步讨论方程的指数非常返性提供了对照。接着，我们澄清了马氏过程的次指数收敛速度在从属时间变换下的稳定性问题，并给出了次指数遍历对应的积分型泛函，这为我们研究马氏过程的随机稳定性开辟了新的途径。最后，我们讨论了连续时间马氏过程指数非常返的判别准则，得到了关于广义生成元的 Foster-Lyapunov 条件和某集合击中时的矩条件。这些准则易于实施操作，且具有普遍适用性，故由此我们进而研究了由 Lévy 过程驱动的随机微分方程的指数非常返性。