图的几类谱及其与图的变换的关系

随着人们对图的研究的拓展，不断地引入了一些新的矩阵来深化对图的研究,图谱的类型也由最初的邻接谱而逐渐发展到拉普拉斯谱、规范拉普拉斯谱等。本项目主要研究图的变换对图的几类谱的影响，包括对图的个别特征值的研究，也包括对图的所有特征值的研究，即对谱的整体研究。研究对象从简单图扩展到赋权图，图的变换可能涉及删点集、移邻变换、重分邻变换、赋权图降权变换等。由于谱的整体关系往往表现为插值关系，故本项目欲对Cauchy 插值做进一步的拓展，从矩阵的的二次型入手，根据Courant-Fischer 定理，利用Raylei商、商矩阵以及Weyl 不等式等，研究两个图的谱在什么情况下会出现类似于Cauchy插值的插值性质，并探讨图的特征值的插值不等式的应用，特别是用来界定图的某些参数的范围。

本项目研究图的变换对图的几类谱的影响，具体做了3个方面的工作。(1)考虑赋权图，研究了降权变换对图的两类谱（拉普拉斯谱和无符号拉普拉斯谱）的影响，得到了变换前后两类图谱的插值性质，并根据这些插值不等式，确定了图的某些特征值的重数。(2)考虑简单图，研究了删点集变换对图的无符号拉普拉斯谱的影响，得到了一个插值性质，根据该插值不等式，得到了所有Q-特征值的一个下界形式: qi(G)≥di-i+1（i=1,2,…,n），其中qi(G)为n阶图G的第i大Q-特征值，di为第i大顶点度。特别地，给出了qi(G)≥di-1（i=2,…,k）成立的一个充分条件，并且刻画了等号成立时图的一些结构性质。(3)研究了特征为p的有限域上型Bn的Chevalley 群的结构，并确定了特征为p（p≠2）的有限域上型Bn的Chevalley 群之间的非平凡同态。