约束曲面最优拟共形映射算法及应用研究

Discrete surfaces with landmarks exist extensively in the application fields of digital geometry processing. It is highly desirable to provide efficient algorithms to represent, handle and use the constrained surfaces. To date, the research on the extremal quasiconformal mapping of constrained surfaces is limited and there are no systematic and comprehensive solutions of the extremal quasiconformal mapping of constrained surfaces. This project proposes to study the extremal quasiconformal mapping of constrained surfaces, present a computational framework to compute the intrinsic geometric structures of constrained surfaces, generalize surface uniformization to constrained surfaces, apply it to surface registration and surface analysis, and finally advance its application in visualization, medical imagining and geometric modeling. The key problems to be solved are:1) the construction and convergence analysis of the extremal quasiconformal mapping of constrained surfaces;2)the surface registration and analysis algorithms based on the extremal quasiconformal mapping of constrained surfaces;3)the application of geometry processing algorithms of constrained surfaces. This project is very meaningful for supplementing the theory and algorithms of conformal structures, discovering its influence to surface conformal structure and bridging quasiconformal theory with practice.

带有约束特征的离散曲面广泛存在于数字几何处理的各个应用领域中，因此迫切需要有效的算法来表示、处理和使用这些约束曲面模型。目前，针对约束曲面最优拟共形映射的研究较少，缺乏系统性和综合的解决方案。本项目拟研究约束曲面最优拟共形映射，提出一种针对约束曲面的内在几何结构计算框架，将曲面单值化定理推广到约束曲面，并将约束曲面最优拟共形映射应用到曲面注册和曲面分析等几何处理算法中，最终促进其在可视化、医学图像及几何建模等领域中的应用，重点解决：1）约束曲面最优拟共形映射构造方法及收敛性分析，2）基于最优拟共形映射的约束曲面注册及分析方法，3）约束曲面几何处理算法的应用。本项目对于完善约束曲面共形结构理论和算法、帮助理解曲面约束特征对曲面共形结构的影响、推动拟共形理论和实践的进一步结合具有非常重要的意义。

带有约束特征的曲面广泛存在于数字几何处理的各个应用领域中，因此迫切需要有效的算法来表示、处理和使用这些约束曲面模型。申请人将拓扑自由度应用于约束曲面的最优拟共形映射和曲面注册，在理论上证明了算法的收敛性，在满足给定点、线约束的前提下，保证映射双射的同时极小化形状扭曲。初始曲面上的曲线的端点直接映射为目标曲面上的曲线端点，初始曲面曲线内部的点可以在目标曲面上的曲线上进行滑动，相比基于点约束的曲面注册，其曲面注册自由度更大，注册精度更高。算法在曲面注册、曲面分析等应用领域已经展现出来其优势，具有很强的应用前景。申请人提出了层次自由曲面的概念，并将之应用到自由曲面保面积优化算法中，算法在保证收敛的同时将面积扭曲控制到用户定义的容差范围之内。曲面处理算法和曲面的参数化息息相关，曲面处理算法的结果在很大程度上依赖于其参数化质量。论文已经初步证明了其在曲面可视化和曲面离散等应用领域的优势，在曲面建模领域具有广泛的应用前景。