浅水波模型之新计算方法

The project is aimed at developing accurate, efficient, and robustnumerical methods for shallow water equations and related models, with particular reference to problems that admit nonsmooth solutions, involve complicated nonlinear waves and uncertain data. A special attention will be paid to applications arising in oceanography, atmospheric sciences, hydraulic, coastal, civil and enhanced oil recovery engineering, in which rapid changes in the bottom topography, Coriolis forces, friction, nonconservative terms, and uncertain phenomena have to be taken into account...These applications, especially in the cases of high space dimensions, require development and implementation of special numerical techniques such as numerical balancing between the terms that are balanced in the original system of PDEs (development of well-balanced schemes), ensuring positivity of all fluid layers (this is absolutely necessary for both accurate description of dry and near dry states and enforcement of nonlinear stability) and others that will be in the focus of the proposed research project. The development of new techniques will be based on high-order shock-capturing finite-volume schemes, accurate and efficient ODE solvers, and stochastic Galerkin methods utilizing major advantages of each one of these methods in the context of studied problems...It is significant that, besides providing the examples that corroborate the numerical approach, the foregoing applications are of a substantial independent value for a broad class of problems arising in today's science.

该项目旨为浅水方程及其相关模型开发准确，高效和稳健的数值方法，特别涉及包含非光滑解，复杂非线性波和不确定数据的问题。我们将特别关注其在海洋学，大气科学，水利工程，沿岸潮汐，民用和强化采油工程方面的应用，其中底部地形的快速变化，科里奥利力，摩擦力，非守恒源项和不确定数据等因素都必须加以考虑。..这些应用，特别是在高维空间中，需要开发和使用特殊的数值技术，例如数值实现原偏微分方程中存在的稳态平衡（开发和谐格式），确保所有流体层高度的非负性（这对于准确的描述（接近）干燥的状态及确保非线性稳定性是十分必要的）等其他该项目中提及的技术。新算法的开发将基于高阶激波捕获有限体积格式，精确高效的常微分方程解算器，以及针对本项目研究问题，结合包含上述方法主要优点的随机伽辽金方法。..更重要的是，对上述应用问题的研究，不仅可以验证数值方法的有效性，同时也对现今科学中的广泛类别的问题具有独立价值。

在主持开展本研究项目期间，我在浅水方程及相关模型的新数值方法和技术的设计与构造方面取得了长足的进展。 主要成果如下:  .---我们开发了二阶精度沿路径保守的中心迎风(PCCU)格式。该格式能够准确地处理出现在浅水方程和两层模型中的不连续底部地形的非守恒项。 我们还利用有限差分的A-WENO框架将PCCU格式扩展到具有五阶精度的数值格式; .---为具有移动底部地形的浅水模型开发了一种基于算子分裂的中心迎风格式。 这对于研究各种泥沙输移模型以及海底滑坡导致严重表面波(包括非常强大和破坏性的海啸波)的模型具有极其重要的意义; .---为Saint-Venant系统开发了一种新的自适应移动网格(AMM)的中心迎风格式。 我们的AMM方法具有良好的保平衡和保正性质，这对于处理许多实际应用中可能出现的干燥和几乎干燥的区域是非常重要的。 同时，所提出的AMM方法能够通过自动集中更多的有限体积单元来实现计算解的“粗糙”部分的高分辨率;  .---为Saint-Venant系统开发了基于中心迎风和局部松弛技术的新的通量全局化格式。 新的数值格式能够保持更广泛的一类稳态解，提高了该系统数值格式的良好平衡性质，并扩大了该系统数值格式的适用范围;  .---开发了更精确的能够处理湿/干界面的新的数值格式。 我们的新格式有助于提高中心迎风格式在浅水模型中的适用性和鲁棒性;  .---为低Froude数下的Saint-Venant系统开发了具有渐近保持性质的半隐式的中心迎风格式。新的数值格式能够改进传统显式方法的效率极低的缺点;  .---我们研究了热旋转浅水(TRSW)模型，并在一维和二维情况下开发了基于通量全局化的中心迎风数值方法。 我们还建立了一个新的具有湿对流的TRSW模型，该模型也可以用基于通量全局化的中心迎风格式进行数值求解。 新模型及对应数值方法将被用于研究热带气旋式涡旋在海洋冷暖池和岛屿型地形上的传播与演变。