二维不规则凸区域上时空分数阶薛定谔方程的数值方法及其参数估计

Fractional Schrödinger equation is an important equation in fractional quantum mechanics, being widely used in plasma physics, nonlinear optics, condensed matter physics and other physical fields. However, in the existed literatures on the fractional Schrödinger equation, most of the research is focused on regular domains, with less research conducted on two-dimensional irregular convex domains. Given that most of the research objects in practical issues are tending to be irregular, it is of great significance to conduct the research on theory and application of the fractional Schrödinger equation defined on two-dimensional irregular convex domains. This project intends, on one hand, to generalize the research region of the time-space fractional Schrödinger equation from regular domains to two-dimensional irregular convex domains, based on the complexity in the boundary of the convex domain, to develop the high-efficient unstructured mesh finite element method, to establish the theoretical analysis of the numerical scheme. On the other hand, on the basis of the obtained numerical solution, this project intends to pay attention to the parameter estimation problem in practical applications of the time-space fractional Schrödinger equation, to propose efficient parameter estimation methods, realizing the multi-parameter estimation for the time-space fractional Schrödinger equation. The research contents in this project are important issues in fractional quantum mechanical theory and its application. The expected results will complete the numerical analysis theory of the time-space fractional Schrödinger equation defined on two-dimensional irregular convex domains, and will provide efficient parameter identification methods for the wide applications in various physical research fields of the time-space fractional Schrödinger equation.

分数阶薛定谔方程是分数阶量子力学领域的重要方程，在等离子体物理学、非线性光学、凝聚态物理等领域有着广泛应用。然而，目前对分数阶薛定谔方程的研究大多集中于规则区域，对二维不规则凸区域少有研究。鉴于实际问题中的研究对象往往趋于不规则性，亟待发展二维不规则凸区域上分数阶薛定谔方程的理论及应用研究。本项目旨在一方面，将时空分数阶薛定谔方程的研究区域由规则区域推广到二维不规则凸区域，基于区域边界的复杂性，发展高效的不规则网格有限元数值算法，建立数值格式的理论分析。另一方面，借助于所得的数值解，研究时空分数阶薛定谔方程在实际应用中的参数估计问题，提出高效的参数估计方法，实现对时空分数阶薛定谔方程的多参数估计。本项目拟研究内容是分数阶量子力学理论及其应用领域的重要问题，预期成果将完善二维不规则凸区域上时空分数阶薛定谔方程的数值分析理论，并为时空分数阶薛定谔方程在诸多领域中的应用提供高效的参数确定方法。

本项目将分数阶薛定谔方程的研究区域推广到了二维不规则凸区域，研究了相应的数值计算方法及其多参数估计问题。在数值计算方面，研究了矩形区域上带有势函数的二维时空分数阶薛定谔方程，二维不规则凸区域上的非线性时空分数阶薛定谔方程的数值计算方法，针对区域的不规则性，提出了基于不规则网格剖分的有限元数值算法，并建立了相应的数值理论分析。在分数阶薛定谔方程的多参数估计问题方面，提出了基于统计学原理的贝叶斯方法，实现了同时估计分数阶薛定谔方程中的时间、空间分数阶导数阶数，证明了贝叶斯算法在处理分数阶薛定谔方程的多参数估计问题中的有效性。此外，在分数阶模型的实际应用方面，利用分数阶Burgers模型模拟了332铝合金的蠕变恢复实验数据，并确定了模型中的多个未知参数。本项目完成了项目研究计划中的大部分内容，并作了相关拓展和延伸。所提出的不规则网格有限元算法为处理不规则凸区域提供了有力的工具，所提出的贝叶斯方法为分数阶模型的实际应用提供了具体可行的参数确定方法。