非局部微积分方程高阶数值方法研究

Nonlocal (fractional) integro-differential equations are widely used in scientific fields such as medicine, finance, and chemistry et al. In general, there is an integral term with a weakly singular kernel in these equations which usually implies a nonsmooth solution. As a result, the corresponding numerical methods in literature are of lower order. Hence, it is a very important topic to construct high order numerical schemes, in particular for high dimensional cases. This project is to: (1) study high order numerical schemes for the nonlinear time fractional diffusion equation, especially, how to, by employing the two grid method, handle the nonlinear term and the nonsmoothness of the solution in time which cause the lower accuracy of numerical methods;(2) study high-order numerical schemes of the nonlocal integro-differential equation, in particular how to construct an alternate direction implicit scheme of the multi-dimension problems, and analyze the error of the full-discrete numerical scheme by using the Laplace transformation method.

非局部（分数次）微积分方程已被广泛应用于医学、金融和化学等科学领域。此类方程一般带有弱奇异核的积分项或非线性项，解不光滑，采用传统的方法进行数值求解时间方向往往被限制在低阶情形，同时高维方程存在计算困难等问题。因此，对高维非局部微积分方程建立高效的数值格式是一个仍待解决的重要科学问题。本项目拟：（1）研究非线性时间分数阶扩散方程的高阶数值格式；采用两网格方法解决非线性项和非光滑性导致时间方向收敛阶低的问题;（2）研究高维非局部微积方程的高阶数值格式；采用交替方向隐格式解决多维计算困难问题，采用Laplace变换方法对所构造全离散数值格式进行误差估计分析。

分数阶微积分方程已被广泛应用于工程、生物和地理等科学领域。由于它通常含有带奇异.核的积分项，采用差分法、经典有限元法等传统数值方法求解此类方程时，时间方向往往限制.在较低的收敛阶，即使采用矫正法、变步长法等技术手段来提高收敛阶，方程的解也仍然需要.满足一定的正则性要求。在方程的解无任何正则性限制的条件下，非光滑初值分数阶微积分方.程的高阶数值解法是一个至今仍未完全解决的挑战性问题。为解决该问题，本项目拟：（1）.深入分析Petrov-Galerkin有限元方法对带奇异核积分项的作用机理，研究正交样条配置方法.对空间方向的逼近方式，构造非光滑初值时间分数阶微积分问题的高阶全离散数值格式；（2.）深入分析Laplace变换技术的理论分析框架，研究如何采用Laplace变换方法对所构造全离散.数值格式进行误差估计分析；（3）深入分析全离散数值格式矩阵形式的结构特点，设计有效.的算法程序，提高方程的求解效率。