非线性发展方程组初值问题的对称约化

The group theoretic methods are a modern mathematical apparatus widely used to investigation of different mathematical models based on the ordinary and partial differential equations. In practice, the initial conditions are just as important as the governing equations for determining the behavior of equations. We know that the models from the real world not only single equations but also the system of equations. In this project, we study the group classification and solutions of the initial value problem for system of nonlinear evoltion equations by Lie point symmetry, conditional symmetry and generalized conditional symmetry. Firstly, we give the theory of initial value problem of system of equations via Lie point symmetry, conditional symmetry and generalized conditional symmetry; secondly, we will study two different systems of equations.. The problem of the project have physical backgroud and the reuslts will enrich the group analysis theory, at the same time, will broaden the scope of research for symmtry group method. These resulting equations may have potential significance to model some new nonlinear phenomena. These exact solutions are very helpful to explain and illuminate physical problems.

群理论方法是研究包含了常微分方程和偏微分方程数学模型的主要工具.由于在研究系统的性质时,所研究的方程和附加的初值条件具有同等重要的地位.现实世界中许多模型不仅是单个的方程,更多的是以方程组的形式出现.在本项目中利用李点对称、条件对称和广义条件对称方法研究非线性发展方程组初值问题的对称群分类和求解问题.首先给出利用李点对称、条件对称和广义条件对称方法研究方程组初值问题的理论,然后运用该理论解决两类方程组初值问题.. 本项目所研究的问题具有浓厚的物理背景,研究成果将在一定程度上丰富微分方程的群分析理论,拓宽了对称群方法的应用范围,分类所得的新方程可能对某些新的非线性现象的模拟具有重要意义.其精确解对一些物理现象的解释是很有帮助的.

首先研究了方程组的对称分类问题.主要研究了一些方程组在允许广义条件对称 的对称分类情况. 根据广义条件对称方法,对方程组中出现的未知函数进行分类,得到方程所允许的对称.另外,在现实生活中,出现了大量的具有扰动项的非线性偏微分方程模型,为了研究扰动方程的性质,需要寻找这些方程的近似解.最常用的方法之一就是将扰动方法与李对称群结合起来.这些对称扰动方法包括近似的李点对称,近似的条件对称和近似的广义条件对称方法等. 已经证实这些近似对称群方法是寻找近似解和进行对称约化的有效方法之一,同时能解决这些方程的初、边值问题. 在本项目中主要利用近似广义条件对称方法研究偏微分方程初值问题的对称约化问题. 首先利用广义条件对称方法对所研究的偏微分方程进行对称分类, 其次计算偏微分方程所附加的初值条件中的函数, 最后将分类后的偏微分方程初值问题约化为常微分方程的初值问题并进行求解. 主要研究两类扰动方程初值问题的约化问题, 即扰动的Cahn-Hilliard方程和扰动的湍流方程初值问题的近似对称约化.即u_t=K(u_x)u_{xx}+\epsilon F(u),和u_t=-(F(u)u_x)_x-\epsilon u_{xxxx}.最后,针对车牌识别预处理中的图像去噪问题，提出一种自适应耦合偏微分方程（PDE）去噪模型.这些结果为进一步研究这些方程的相关性质提供了重要信息.