有限群整群环中的挠单位与挠子群

In recent years, due to the development of group representation theory and applications of new tools and new methods in the theory of integral group rings, the Zassenhaus conjecture has become one of the hot study topics, especially the first Zassenhaus conjecture that every torsion unit of an integral group ring of a finite group is conjugate to some group element within the rational group algebra, has drawn extensive attentions. The Zassenhaus conjecture not only has closely connection with the isomorphism problem and the normalizer problem of integral group rings, but also relates to the study of group representation theory. This project, by comprehensively using the theories of finite groups, rings, representations and the homology theory of finite groups, aims to further study the torsion units and torsion subgroups in integral group rings, to partially solve the related problem and conjectures in integral group rings and to shed new light on the investigation of representations of finite groups.

近年来，由于群表示理论的发展以及整群环理论中新工具和新方法的产生，整群环的Zassenhaus猜想已成为整群环理论中研究的热点问题之一, 特别是第一Zassenhaus猜想，即每个有限群整群环中的挠单位都与该有限群中的一个元在有理群代数中共轭，吸引了众多学者的关注。Zassenhaus猜想既与整群环的同构问题和正规化子问题有密切联系，又与有限群表示的研究紧密相连。本项目旨在综合运用群理论、环理论、表示理论和同调理论等知识，进一步深入研究有限群整群环中的挠单位和挠子群，从而为解决或部分解决整群环的相关问题和猜想创造一定的条件，同时也为研究有限群表示提供一个全新的视角。

本项目应用整群环的Hertweck-Luthar-Passi方法、群的射影极限理论和归纳原理等知识，对整群环中挠单位和挠子群的有理共轭性问题做了深入研究，建立了有限群Coleman自同构与整群环理论中的一些相关问题以及Zassenhaus猜想之间的联系。近年来，有限群整群环的Zassenhaus猜想问题已成为整群环理论中研究的热点问题之一。在本课题中，围绕着整群环中挠单位和挠子群及其相关的问题，在以下几个方面取得了重要进展：(1)两个有限群直积的整群环中挠单位的有理共轭性问题；(2)优化、改进了Hertweck-Luthar-Passi方法，探讨了有限群共轭类的偏增广在计算方面的特点，进一步丰富和完善该领域的研究成果；(3)研究了Hertweck-Luthar-Passi方法在表示理论方面的特征，建立了有限群共轭类的偏增广与其商群共轭类的偏增广之间的联系，给出了某些有限群整群环中的Zassenhaus猜想或Kimmerle猜想；(4)利用上同调理论和归纳法，研究了有限群的特殊扩张以及一般扩张的一些特殊自同构，这样的自同构对研究整群环的相关问题有着重要的作用；(5)建立了利用群的射影极限理论构造有限群Coleman自同构的方法。此外，在该项目的支持下，我们在本研究领域重要期刊发表论文11篇，指导硕士研究生9人。