高振荡问题的高效数值方法研究及应用

Highly oscillatory problems arise in wide and many areas of computational mathematics，science and engineering. They are widely perceived as not only extremely challenging significant research topics, but also frontier and hot subjects around the world. And, they receive significant attention of the experts and scholars in recent decades. This topic is devoted to the problems of computing highly oscillatory Bessel integrals, several types of highly oscillatory singular integrals, multi-frequency highly oscillatory integrals, multivariate highly oscillatory integrals，numerical solution of highly oscillatory singular integral equations, highly oscillatory problems occuring in image reconstruction. The singularities and possible high oscillations of the integrands make these problems very difficult to approximate accurately. In order to overcome some problems that usually appear in the case when the integrands are both singular and oscillating, we shall design feasible and efficient numerical methods, owing to existing methods and different techniques. Moreover, we shall derive some differentiation formulas of hypergeometric functions with respect to all parameters. A study of such derivatives is motivated by the occurrence of highly oscillatory problems and other related fields.

高振荡问题广泛出现在计算数学与科学工程计算诸多领域. 它同时也是一类被公认为非常难的国际热点前沿研究课题, 存在许多挑战性问题. 近几十年来, 这类问题也获得了众多专家学者的极大关注. 本项目主要研究高振荡Bessel型积分、几类高振荡奇异积分、多频高振荡积分以及高维高振荡积分的计算、高振荡奇异积分方程的数值解以及图像重建中遇到的高振荡问题, 为了克服奇异性和高振荡特征带来的困难, 我们在现有方法的基础上利用不同的变换或技巧, 设计可行的高效的数值方法. 另外我们也将推导一些可用于高振荡问题计算的超几何函数的参数导数公式.

高振荡问题广泛出现在计算数学与科学工程计算诸多领域, 比如：天文学、流体(或固体)力学、分子动力学、电动力学、量子化学、信号处理、医疗图像、计算电磁学、声学、散射问题、光学等问题. 它同时也是一类被公认为非常难的国际热点前沿研究课题, 存在许多挑战性问题. 近几十年来, 这类问题也获得了众多专家学者的极大关注，例如剑桥大学牛顿数学所召集世界多位顶尖计算数学专家就此问题已开展过多次研讨. 本项目在执行期间主要研究了高振荡或奇异积分（包括Bessel型、Fourier型、Airy 型等振荡核函数）的数值计算方法及相关高振荡奇异积分方程的数值解法, 为了克服奇异性和高振荡特征带来的困难, 我们在现有方法的基础上利用不同的变换或技巧, 着重设计了一些可行的高效数值方法, 并进行了相关的数值分析, 包括误差分析、收敛性分析等工作,特别地, 推导出了一系列严格的误差界. 我们设计的这些数值方法的共同优势在于, 对于固定的节点数, 精度随着振荡频率的增高而迅速提高; 对于固定的频率, 误差随着节点数的增加而大大减小. 另外我们也推导出一系列有重要应用价值的超几何函数的参数导数公式, 尤其是可用于计算振荡或奇异积分以及其它很多相关领域.