高维网络数据建模及其渐近推断

Recent studies show that dependent exponential random graphs including graph statistics such as K-star, Triangle and so on, is almost degenerate. Therefore, the model fitting is not good when dependent exponential random graphs are applied into real network data. We will develop the new network models by re-constructing the graph statistics to guarantee them to be non-degenerate and capturing the dependent property. Moreover, because the data are dependent, the number of parameters increases as the number of graph vertices, and the sample is only one realization of network data, investigating the asymptotics of network models is a great challenge. As early as 1981, p1 model is proposed in JASA (1981, 76, 33-65, with discussion), but it is still unknown on the asymptotic properties of the maximum likelihood estimate. Simulation studies indicate that the maximum likelihood estimate has good asymptotic behaviors. We will investigate this problem theoretically as well as asymptotics in other network models.

近年来研究发现包含K-star, Triangle等图统计量的相依指数随机图几乎是退化的。由此拟合网络数据时，模型拟合效果不好。我们将发展新一代网络模型。将重新构造图统计量使其具有非退化性质，同时捕获相依结构。此外，由于数据相依性，参数个数随网络节点个数增加，样本仅是网络数据的一次实现等原因，研究网络模型的渐近理论具有很大挑战。早在1981年，P1模型在JASA （1981, 76, 33-65, with discussion）上被提出，但是极大似然估计值的渐近性质一直不知道。模拟研究表明P1模型也具有很好的渐近性质，我们将从理论上调查这个问题及其他网络模型里极大似然估计值的渐近理论。

指数随机图模型被广泛用来分析网络数据。在网络数据里，样本量通常只是总体的一次观测，也即是只观测到了一个样本，而且参数个数随网络的顶点增加而增加。该数据形式不同于传统的统计数据（可重复观测得到多个样本）。这给分析网络模型带来了很大的挑战。p1网络模型是最早被用来分析网络数据的模型之一，在过去的几十里，该模型的渐近理论性质一直未知。在国家自然科学基金专项项目的资助下，我们通过获得关于Fisher信息阵的具有高精确度的近似逆矩阵，证明了不包含互换效应的p1模型里极大似然估计量的相合性和渐近正态性；证明了极大熵无向网络模型里极大似然估量的中心极限定理；获得了Beta, Bradley-Terry，Rasch等网络模型里的高维Wilks理。包含K-star, Triangle等图统计量的相依指数随机图模型几乎是退化的。该项目通过把所有顶点分成若干个类，假设每个类之间具有相依关系，不同类之间相互独立的，提出了新的网络模型，克服了模型的衰退性。在该项目的资助下，已发表1篇SCI论文，接受的SCI论文2篇，还有若干篇论文正在审稿。