层状磁电复合材料磁-电-力耦合响应辛对偶求解方法研究

由铁电相-铁磁相构成的层状磁电复合材料具有结构和制备简单，磁电效应高等优点。但关于其磁-电-力多场耦合响应问题还有待深入研究，而关于该类层状结构边缘效应的计算尚未见报道。本项目的研究目标是用辛对偶方法得到该问题高精度、高效率的解析和半解析分析手段。首先，基于辛空间，将层状磁电复合材料磁-电-力多场耦合响应问题导入到辛对偶体系，形成用全状态向量表示辛对偶方程，通过分离变量法分别获得零和非零本征值对应的本征向量，前者可以构造出圣维南问题的解，后者可以构造出描述边缘效应的解。其次，提出基于辛空间的层状磁电复合材料磁-电-力多场耦合响应问题的半解析解法，在板面内采用等参元，它对板的厚度没有要求；在厚度方向采用解析解，并在处理多层问题上应用矩阵传递关系，使得最终的控制方程的未知量与结构层数及厚度无关。本项目将对层状磁电复合材料磁-电-力耦合响应关系进行更精确地求解，为实用产品开发提供理论指导。

由铁电相-铁磁相构成的磁电弹性固体是一种新兴的功能材料，由于其具有力-电-磁多场耦合性能，在很多领域展示了很好的应用前景。本项目基于辛体系求解了横观各向同性磁电弹性固体矩形域问题和层状横观各向同性磁电弹性固体问题，既有解析求解，也有半解析求解。（1）将动力学中的哈密顿体系应用于横观各向同性磁电弹性固体平面问题的求解，把材料的极化方向模拟为哈密顿体系中的时间轴，基于广义变分原理，获得其辛对偶方程，并通过分离变量法形成哈密顿特征值问题。用零本征值与非零本征值的本征向量构造问题的通解。（2）将横观各向同性磁电弹性固体非极化方向模拟为哈密顿体系中的时间轴，在辛几何空间中，获得了平面横观各向同性磁电弹性固体圣维南问题的一组通解。求解了矩形磁电弹性固体在多种载荷作用时的力学量、电学量和磁学量的分布情况。（3）将哈密顿体系进一步应用于横观各向同性磁电弹性固体层合板问题的求解，通过拉格朗日密度函数及勒让德变换将问题引入辛体系，并获得该问题的圣维南解。（4）获得横观各向同性磁电弹性固体平面问题混合状态Hamiltonian元控制方程，这是一种半解析有限元，该解法很容易能通过矩阵传递法用于求解磁电弹性固体层合板问题。（5）基于广义Hellinger-Ressner变分原理，获得横观各向同性磁电弹性固体三维问题的辛对偶方程，进一步推广了哈密顿体系的应用。以上的解析解均通过有效的数学物理方法，如分离变量法和本征函数展开法，进行理性的推导获得，是与凑合法有着本质不同的求解方法。这些解析解的可以作为工程应用和数值计算方法验证的可靠依据。