算子Grabiner理论及其应用

Spectral theory of linear operators is one of the most important topics in functional analysis. In recent years, with the rapidly development of local spectral theory, spectral theory of linear operators become again an international hot research topic. Taking operators with eventual topological uniform descent as a research object, Grabiner theory has formed preliminarily after more than thirty years of development, and it enriches and developes the classical Fredholm theory.. Grasping the above new situations and features in the evolution of spectral theory of linear operators and basing on the applicant's previous works, this project will continue to make a further discussion on Grabiner theory and its applications. It aims to solve several problems in spectral theory of linear operator by using innovation methods and tools. We mainly focus on the following aspects: . Firstly, we will study the deep interplay between the topological uniform descent, Samuel multiplicities and local spectral theory, and then provide new tools for Fredholm theory.. Secondly, we will explore some further applications of Samuel multiplicities in spectral theory of linear operators and Banach algebra.. Thirdly, we will apply Grabiner theory to investigate the space structure of a kind of G-M type Banach spaces, the West decomposition of Riesz operators in James space and open problems such as Bishop's property and Weyl's theorem for *-paranormal operators in Hilbert space.

算子谱理论是泛函分析的核心研究内容之一。近年来，随着局部谱理论的蓬勃发展，算子谱理论再次成为国际前沿研究热点。算子Grabiner理论以有拓扑一致指数算子为研究对象，经过三十多年的发展已初步形成，它丰富和发展了经典Fredholm理论。. 本项目把握住谱理论发展的上述新态势和新特点，在已有工作的基础上，继续深入探讨算子Grabiner理论及其应用。预期通过方法与工具的创新，解决一批算子谱理论的问题，主要聚焦如下：. 第一，研究算子的拓扑一致降指数、Samuel重数和局部谱理论之间深刻的内在联系，由此为Fredholm理论提供新的研究工具；. 第二，探讨Samuel重数在算子谱理论和巴拿赫代数上的应用；. 第三，应用算子Grabiner理论研究G-M型空间结构、James空间上的黎斯算子West分解以及希尔伯特空间上*仿正规算子的Bishop性质和Weyl定理等前沿问题。

算子谱理论是泛函分析的核心研究内容之一。近年来，随着局部谱理论的蓬勃发展，算子谱理论再次成为国际前沿研究热点。算子Grabiner理论以有拓扑一致指数算子为研究对象，经过三十多年的发展已初具雏形，它丰富和发展了经典Fredholm理论。把握住算子谱理论发展的上述新态势和新特点，本项目继续深入探讨算子Grabiner理论及其应用。通过综合应用Grabiner理论、局部谱理论和Samuel重数等锐利工具和方法，得到了算子谱理论的一批新结果。. （i）以Corach-Duggal-Harte在[Comm. Algebra, 2013, 41: 520–531]中提出的若干公开问题为出发点，引入新的方法研究各种广义逆的经典Jacobson引理和Cline公式的推广，得到了这方面到目前为止的最好的一系列结果。作为应用，证明了算子乘积AC和BA具有共同的极化性质(polaroidness)和B-Fredholm性质(且具有相同的指标)，证明了(n,k)拟仿正规算子及其Aluthge变换满足广义Weyl定理，大大拓宽了满足Weyl型定理的算子类。. （ii）利用算子的两类重要的不变子空间(解析核和拟幂零部分)，证明了近似点谱的聚点在交换幂有限秩摄动下是稳定的，从而推广了著名谱论专家Djordjevic的一个结果。此外，将所得结果应用于研究各种Weyl型定理的交换幂有限秩摄动稳定性。. （iii）作为n*仿正规算子和k拟*仿正规算子的推广，引入并系统研究了(n,k)拟*仿正规算子，讨论它与其它算子类之间的关系、矩阵表示、非零点谱和非零联合点谱的关系、非零近似点谱和非零联合近似点谱的关系。另外，还将亚正规算子、*类A算子、*仿正规算子的非零孤立谱点的Riesz幂等元的结果统一推广到范围更广的(n,k)拟*仿正规算子上，推广了前人的结果。. （iv）利用局部谱理论的有力工具（如Gleason定理和Allan-Leiterer理论），在算子A，B，C 满足类似于代数中短五引理的条件下，研究了算子B的各种（局部）谱与算子对A和C的相应（局部）谱的关系。. （v）借助Grabiner去心邻域定理等工具，用谱理论的语言刻画了一类G-M型Banach空间---不同构于其任何真子空间的Banach空间，实践空间与算子相结合的思想。