非高斯过程驱动系统的随机不变流形

The project intends to explore the dynamical behavior of random system driven by non-Gaussian Lévy noise. Under the framework of cadlag function space with Skorohod metric ,The multiplicative ergodic theorem will be considerated . It looks forward to discuss the inertial manifold, slow manifold of PDE(ODE) which driven by Lévy noise . It also intends to compare the dynamical behavior of stochastic system driven by Gaussian and Lévy noise. When the noise intensity is sufficiently small, the random invariant manifolds can be approximated as a perturbation of the deterministic invariant manifolds. Particularly, the new phenomena of random system driven by non-Gaussian noise will be explored.

本课题研究非高斯Lévy过程驱动随机动力系统的动力学，主要研究样本空间为赋以Skorohod度量的右连左极函数空间时，在考虑非连续情况下的乘法遍历定理后，考虑由Lévy过程驱动的微分方程以及偏微分方程构成（多尺度）系统的惯性流形、慢流形等问题。比较Lévy过程驱动和高斯白噪声驱动的随机动力系统的动力学本质区别，比较随机系统和确定系统的慢流形之间的渐近关系。研究随机因素给动力系统带来的新现象和新问题。

因Levy噪声驱动系统的特性，对比已有的研究成果，对Marcus线性噪声系统得到的结果较为平凡，对Ito 类型Levy噪声驱动系统没有得到理想结果。 总体上Levy噪声驱动系统的不变流形研究没有达到预期效果。. 在本项目资助下推进的研究内容为：使用一类彩色、光滑噪声积分OU过程逼近白噪声的技术，发现光滑彩色噪声驱动的系统具备更好的轨道性质。 事实上这是一种特殊类型的Wong-Zakai意义的逼近。区别于经典的Wong-Zakai折线逼近和光滑逼近。本项目中采取的逼近系统更容易验证随机流的性质和研究轨道意义下的随机不集。. 具体研究内容为：首先研究了光滑噪声驱动偏微分系统的随机不变流形及随机拉回吸引子。同时研究了光滑彩色噪声驱动系统与原白噪声系统驱动系统解的渐近关系。在此基础上考虑了两种系统的不变集（包括随机不变流形和随机拉回吸引子）的逼近关系。. 此外我们还考虑了非线性乘性噪声驱动系统Wong-Zakai逼近以及逼近的阶，考察了积分OU过程逃逸时的逼近和逼近的阶。 研究了一类波方程的平均化问题。