几类映射的不变曲线问题的研究

In this project, we will discuss the invariant curves for several mappings by small divisor theory and linearization in dynamical system. These can be done through equivalent equations. For equivalent equations, we will consider: (1) existence of power series formal solutions, in particular, whether formal solutions belong to the classes of known functions; (2) convergence of formal solutions. We try to improve the Diophantine conditions, Brjuno condition or weaker arithmetic conditions, and find the maximum existence interval; (3) numerical solutions, approximate solutions or some analytic particular solutions. We hope that this project can enrich and develop the invariant curves theory of planar mapping, and promote the development of related applied sciences.

本项目利用动力系统中的小除数理论及线性化思想，对几类映射的不变曲线问题进行探讨，主要通过映射的等价方程进行讨论。针对等价方程，主要考虑：(1) 幂级数形式解的存在性，特别是形式解与已知函数所属函数类是否相同的情况；(2)形式解的收敛性，对于收敛条件来说，考虑改进Diophantine或Brjuno条件，或找到更弱的条件，并寻求最大收敛区间；(3)找到几类方程的数值解、近似解及某些解析特解。希望本课题的研究能丰富和发展平面映射的不变曲线理论，并对相关科学技术领域的发展起到促进作用。

本项目主要研究与几类映射有关的迭代方程及其推广形式的解析解、渐近解及与之相关的问题。具体包括解析解、渐近解、周期解和伪概周期解等。(1) 利用Siegel方法讨论了一类映射对应的迭代方程的解析解的存在性问题，并给出了幂级数形式的显式解表达式。(2) 考虑了一类迭代方程的渐近解，并给出了精确地迭代逼近公式。(3)讨论了几类迭代方程周期解的存在唯一性问题，并对其中一类方程的连续解进行了深入的讨论。 (4) 讨论了一类迭代方程伪概周期解的存在唯一性问题，并给出几个详细的例子以说明具体解的形式。项目负责人已在《mathematical methods in the applied sciences》、《Aequationes Mathematicae》、《Mathematical communications》、《Ukrainian Mathematical Journal》等SCI检索或中文核心期刊等国际刊物上发表论文10篇，我们完成了项目的预定研究任务，并在部分研究内容上做了适当的延伸和扩展。