Dedekind和及其相关问题的研究

Dedekind sums is an important research field in number theory, and is also an important tool to study some problems in number theory. The study on them can promote the development of number theory and related disciplines, has important theoretical value and application value. The applicant has some basic work in the study on the Bernoulli polynomials associated with Dedekind sums. Therefore, this project will be carried out to research Dedekind sums as follows: the formula of products of any number of Bernoulli polynomials will be established by applying the partial fraction decomposition; the reciprocity law of higher dimensional Dedekind-Rademacher sums will be explored in view of using the formula of products of Bernoulli polynomials and the cyclic permutation, and some similar problems for Dedekind sums in function fields will also be considered.

Dedekind和是数论中重要的研究领域，也是研究数论问题的重要工具。对它们的研究能促进数论及相关学科的发展，有着重要的理论价值和应用价值。项目申请人在与Dedekind和相关的Bernoulli多项式的研究中有一定的工作基础。因而，本项目计划按照如下方案开展Dedekind和的研究：利用部分分数分解建立任意多个Bernoulli多项式的乘积公式；利用Bernoulli多项式的乘积公式和循环置换研究高维Dedekind-Rademacher和的互反律，并探索函数域上的Dedekind和的类似问题。

本项目运用了数论理论、组合技巧与分析方法相结合的方式，研究了任意多个Bernoulli多项式的乘积公式以及高维Dedekind-Rademacher和的互反律。在本项目中，申请人已取得如下研究成果：运用生成函数方法及求和转换技巧，建立了Apostol-Bernoulli多项式和Apostol-Euler多项式乘积的一个新公式以及两个Frobenius-Euler多项式乘积的一些新公式；运用求和转换技巧，建立了q-Bernoulli多项式的一些对称等式；运用生成函数方法及求和转换技巧，给出了任意多个Apostol-Bernoulli多项式和Apostol-Euler多项式乘积的一些和式公式；运用生成函数方法，求和转换技巧以及Euler发现他的五边形数定理的初等想法，得到了任意多个Apostol-Bernoulli多项式和Apostol-Euler多项式的一些乘积公式以及Apostol-Bernoulli多项式和Apostol-Euler多项式的高阶卷积公式；运用生成函数方法，求和转换和循环置换技巧以及Euler发现他的五边形数定理的初等想法，得到了任意多个Frobenius-Euler多项式的一些乘积公式，乘积的和式公式以及高维Dedekind-Rademacher和的互反律。