符号图的整数流

The concept of integer flows was introduced by Tutte as a dual problem to face-coloring of (unsigned) planar graphs. Both notations have been extended to signed graphs. The definition of integer flow on signed graphs naturally comes from the study of embeddings of graphs in non-orientable surfaces, where the integer flows emerge as the dual notion to local tensions. . This project will focus on the well-known 6-flow conjecture of signed graphs. We propose to study how to convert modulo flows into integer flows, to verify the 6-flow conjecture for some families of signed graphs such as signed graphs with few negative edges and signed graphs with few vertex-disjoint unbalanced circuits, and to eventually make a breakthrough on the 6-flow conjecture.. The study of this project will develop some new techniques and methods, which will advance the study of integer flow theory.

整数流是Tutte引入的平面图面染色的对偶形式，用于研究著名的四色猜想。符号图是边分为正边和负边的图，是图的推广。将整数流从图延伸至符号图，对偶于局部张力从可定向曲面嵌入图到不可定向曲面嵌入图，是理论发展的必然要求。.本项目围绕Bouchet的6-流猜想研究符号图整数流。一方面，建立符号图上模流到整数流的转化关系，突破它们在应用过程中的各种限制，拓展符号图整数流的研究方法。另一方面，揭示负边与不平衡圈对符号图边割及其流值的本质影响，建立小边割上无零整数流延拓至整个符号图的充分条件；在此基础上，综合运用结构分析和代数理论，分别从负边数、点不交不平衡圈数两个角度推广Seymour的6-流定理到符号图上，同时在一般符号图上，力争取得其整数流新的阶段性成果，进一步逼近6-流猜想。.本项目将解决符号图上模流难应用于研究整数流等关键问题，为最终解决6-流猜想创造有利条件，推动整数流理论的发展。

整数流是图论领域的重要研究方向，与著名的四色问题密切相关。1983年，Bouchet率先在符号图上系统地研究整数流，并提出6-流猜想：每个流允许的符号图有处处非零6-流。该猜想是整数流研究的中心问题之一。本项目围绕6-流猜想研究符号图整数流，主要研究结果如下：(1) 在一般符号图上将6-流猜想的研究结果从已知的30-流大幅度逼近到11-流，被审稿人评论为近几十年来该领域最重要的成果之一；分别在禁止长哑铃符号图，非平衡点数不超过3的符号图，和符号Halin图上证明6-流猜想成立；此外，发现了禁止长哑铃符号图的整数流与一般图的整数流有相似的性质。(2) 建立符号图上处处非零模3-流转化为满足特定要求的处处非零5-流，为研究符号图整数流提供了方法；(3) 为进一步拓展符号图整数流的研究方法，研究了符号图上边染色问题和图上诱导顶点染色问题，首先证明了符号平面图在最大度大于等于8情况下是第一类的，即边色数等于最大度，并进一步拓展到边DP-染色上；其次证明了邻和可区分全染色猜想的列表版在3正则图和最大度不小于7且不含6圈的平面图上均成立。对上述内容的研究综合运用了结构分析方法、权转移方法，以及Seymour的闭包运算、正负边切换操作、顶点分离、子图收缩等手段，上述工作为最终解决6-流猜想提供了有效的研究思路。