几乎平坦流形上的Spin结构和配边问题

Almost flat manifolds play a fundamental role in Riemannian geometry. It is well known that if an open manifold has a complete Riemannian metric with finite volume and negative pinched sectional curvature, the sections of all ends of this manifold are almost flat manifolds. F.T.Farrell, S.Zdravkovska and S.T. Yau conjectured independently that every almost flat manifold is the boundary of some manifold. In Dirac operator spectrum theory, almost flat manifolds with Spin structure also provide a class of examples with different homeomorphism types but the same Dirac operator spectrum.. The situation that the holonomy groups of almost flat manifolds are the finite generated elementary abelian 2-groups is considered in this project. We want to use the lifting conditions of the orthogonal representation of holonomy group to the universal covering group Spin(n) of the special orthogonal group SO(n) to study the existence problem of Spin structures on these manifolds. And we want to apply the theory of equivariant classifying spaces to study the F.T. Farrell, S. Zdravkovska and S.T. Yau’s conjecture about these manifolds.

几乎平坦流形在黎曼几何中起着非常重要的作用，在负曲率情形，一个完备的体积有限的非紧负曲率黎曼流形，如果截面曲率既有下界也有负上界，则该流形的每个端(end)的截面都是几乎平坦流形，因此F.T. Farrell、S. Zdravkovska和S.T. Yau独立提出猜想：任何一个几乎平坦流形都是某个紧流形的边界。在Dirac算子谱理论中，具有Spin结构的几乎平坦流形也提供了一类互不同胚但有相同Dirac算子谱的实例。. 本文主要考虑和乐群为有限生成的基本交换2-群的几乎平坦流形，将通过考察此类流形的和乐群的正交迷向表示能够提升到特殊正交群SO(n)的万有覆盖群Spin(n)上的条件来研究该流形上Spin结构的存在性，也应用等变分类空间理论来研究这类流形的F.T. Farrell、S. Zdravkovska和S.T. Yau的猜想。

几乎平坦流形在黎曼几何中起着非常重要的作用。Gomov和Ruh证明每个 几乎平坦流形都微分同胚于某个Infra-nilmanifold。Cheeger、Fukaya和Gromov证 明了一个截面曲率和直径都一直有界的黎曼流形的塌缩序列的纤维是一个几乎 平坦流形。在负曲率情形, 一个完备的体积有限的非紧负曲率黎曼流形, 如果 截面曲率既有下界也有负上界(即曲率满足负夹(pinched)条件), 则该流形的每 个端(end)的截面都是一个几乎平坦流形。 .几乎平坦流行的拓扑F.T. Farrell、S. Zdravkovska和S.T. Yau独立的提出了猜想: 任何一个几乎平 坦流形都是某个紧流形的边界。.我们主要研究和乐群为基本2-群的可定向几乎平坦流形上的Spin结构的存在性问题以及几乎平坦流形配边零问题，给出了当基本2-群的秩为2时Spin结构的存在性条件。同时证明满足一定条件下的四维几乎平坦流形是迭代圆周丛的全空间。